ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 8.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагонали \( AC \) и \( BD \) параллелограмма \( ABCD \) равны соответственно 24 см и 10 см, \( AD = 13 \text{ см} \). Найдите периметр параллелограмма.

Диагонали параллелограмма \(AC = 24\) см и \(BD = 10\) см пересекаются в точке \(O\), где \(AO = CO = \frac{24}{2} = 12\) см и \(BO = DO = \frac{10}{2} = 5\) см.

В треугольнике \(AOD\) по теореме косинусов: \(AD^2 = AO^2 + OD^2 — 2 \cdot AO \cdot OD \cdot \cos \angle AOD\).

Подставляем: \(13^2 = 12^2 + 5^2 — 2 \cdot 12 \cdot 5 \cdot \cos \angle AOD\), значит \(169 = 144 + 25 — 120 \cos \angle AOD\).

Отсюда \(\cos \angle AOD = 0\), значит \(\angle AOD = 90^\circ\).

Диагонали перпендикулярны, значит параллелограмм — ромб, все стороны равны \(AD = 13\) см.

Периметр \(P = 4 \cdot 13 = 52\) см.

1. Даны параллелограмм \(ABCD\), диагонали \(AC = 24\) см, \(BD = 10\) см, и сторона \(AD = 13\) см.

2. Диагонали пересекаются в точке \(O\), которая является их серединой, значит \(AO = CO = \frac{24}{2} = 12\) см, \(BO = DO = \frac{10}{2} = 5\) см.

3. Рассмотрим треугольник \(AOD\). По теореме косинусов:

\(AD^{2} = AO^{2} + OD^{2} — 2 \cdot AO \cdot OD \cdot \cos \angle AOD\).

4. Подставим известные значения:

\(13^{2} = 12^{2} + 5^{2} — 2 \cdot 12 \cdot 5 \cdot \cos \angle AOD\),

то есть

\(169 = 144 + 25 — 120 \cos \angle AOD\).

5. Сложим числа справа:

\(169 = 169 — 120 \cos \angle AOD\).

6. Выразим косинус угла:

\(120 \cos \angle AOD = 0\), значит \(\cos \angle AOD = 0\).

7. Угол \(AOD\) равен \(90^\circ\), то есть диагонали перпендикулярны.

8. В параллелограмме с перпендикулярными диагоналями все стороны равны, значит \(ABCD\) — ромб.

9. Следовательно, стороны \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) равны \(13\) см.

10. Периметр параллелограмма равен \(P = 4 \cdot 13 = 52\) см.