Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 8.2 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Дан куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) (рис. 8.8). Найдите угол между прямыми: 1) \( CD \) и \( BC \); 2) \( AA_1 \) и \( C_1D_1 \); 3) \( AA_1 \) и \( D_1C \); 4) \( AC \) и \( B_1D \); 5) \( A_1C_1 \) и \( AC \).
Угол между \( CD \) и \( BC \) равен \( 90^\circ \), так как это смежные ребра куба.
Угол между \( AA_1 \) и \( C_1D_1 \) равен \( 90^\circ \), так как одно ребро вертикальное, другое горизонтальное.
Угол между \( AA_1 \) и \( D_1C \) равен \( 45^\circ \), так как \( D_1C \) — диагональ боковой грани, образующая с вертикалью угол \( 45^\circ \).
Угол между \( AC \) и \( B_1D \) равен \( 90^\circ \), так как это диагонали смежных граней, перпендикулярных друг другу.
Угол между \( A_1C_1 \) и \( AC \) равен \( 0^\circ \), так как эти прямые параллельны.
| № | Угол между прямыми | Значение угла |
|---|---|---|
| 1) | \( CD \) и \( BC \) | \( 90^\circ \) |
| 2) | \( AA_1 \) и \( C_1D_1 \) | \( 90^\circ \) |
| 3) | \( AA_1 \) и \( D_1C \) | \( 45^\circ \) |
| 4) | \( AC \) и \( B_1D \) | \( 90^\circ \) |
| 5) | \( A_1C_1 \) и \( AC \) | \( 0^\circ \) |
1) Прямые \( CD \) и \( BC \) — ребра куба, исходящие из вершины \( C \). В кубе все ребра, исходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны. Следовательно, угол между \( CD \) и \( BC \) равен \( 90^\circ \).
2) Прямая \( AA_1 \) — вертикальное ребро куба, а прямая \( C_1D_1 \) — ребро верхней грани, лежащее в горизонтальной плоскости. Вертикальное ребро перпендикулярно любой горизонтальной прямой, следовательно, угол между \( AA_1 \) и \( C_1D_1 \) равен \( 90^\circ \).
3) Прямая \( D_1C \) — диагональ боковой грани куба, соединяющая вершины \( D_1 \) и \( C \). Эта диагональ образует с вертикальным ребром \( AA_1 \) угол \( 45^\circ \), так как боковая грань — квадрат со стороной \( a \), и диагональ в ней равна \( a\sqrt{2} \), а вертикаль — сторона \( a \). Угол между вертикалью и диагональю вычисляется по формуле косинуса угла:
\(\cos \alpha = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\), откуда \(\alpha = 45^\circ\).
4) Прямая \( AC \) — диагональ нижней грани, а прямая \( B_1D \) — диагональ боковой грани, пересекающаяся с \( AC \). Плоскости нижней и боковой граней перпендикулярны, поэтому диагонали этих граней тоже перпендикулярны. Следовательно, угол между \( AC \) и \( B_1D \) равен \( 90^\circ \).
5) Прямые \( A_1C_1 \) и \( AC \) — диагонали верхней и нижней граней соответственно. Эти диагонали параллельны, так как верхняя и нижняя грани — параллельные плоскости, а диагонали совпадают по направлению. Значит, угол между ними равен \( 0^\circ \).
| № | Угол между прямыми | Значение угла |
|---|---|---|
| 1) | \( CD \) и \( BC \) | \( 90^\circ \) |
| 2) | \( AA_1 \) и \( C_1D_1 \) | \( 90^\circ \) |
| 3) | \( AA_1 \) и \( D_1C \) | \( 45^\circ \) |
| 4) | \( AC \) и \( B_1D \) | \( 90^\circ \) |
| 5) | \( A_1C_1 \) и \( AC \) | \( 0^\circ \) |
