Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 8.9 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Известно, что \( AB \perp AC \), \( AB \perp AD \), \( AC \perp AD \) (рис. 8.11). Найдите отрезок \( BC \), если \( CD = 2\sqrt{43} \text{ см} \), \( BD = 12 \text{ см} \), \(\angle ABD = 60^\circ\).
В треугольнике ABD по углу 60° вычисляем \(AD = BD \cdot \sin \frac{\pi}{3} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\) и \(AB = BD \cdot \cos \frac{\pi}{3} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\).
В треугольнике ACD, где \(AC \perp AD\), находим \(AC = \sqrt{CD^2 — AD^2} = \sqrt{(2\sqrt{43})^2 — (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{172 — 108} = 8\).
В прямоугольном треугольнике ABC вычисляем \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\).
Ответ: \(BC = 10\) см.
Рассмотрим треугольник ABD, в котором угол ABD равен 60°. Известно, что \(BD = 12\) см. Используя определение синуса, можем найти длину отрезка AD как \(AD = BD \cdot \sin \frac{\pi}{3}\). Подставляя значения, получаем \(AD = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\) см. Аналогично, используя косинус угла, вычисляем длину AB: \(AB = BD \cdot \cos \frac{\pi}{3} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\) см. Таким образом, мы получили две стороны, которые лежат в перпендикулярных плоскостях.
Далее рассмотрим треугольник ACD, в котором стороны AC и AD перпендикулярны друг другу. Известно, что \(CD = 2\sqrt{43}\) см. Так как AC и AD образуют прямой угол, по теореме Пифагора длина CD выражается через AC и AD: \(CD^2 = AC^2 + AD^2\). Подставляя известные значения, получаем \(AC^2 = CD^2 — AD^2 = (2\sqrt{43})^2 — (6\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 43 — 36 \cdot 3 = 172 — 108 = 64\). Следовательно, \(AC = \sqrt{64} = 8\) см.
Теперь, зная длины AB и AC, можем найти длину BC в прямоугольном треугольнике ABC, где AB и AC перпендикулярны. По теореме Пифагора, \(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\). Тогда \(BC = \sqrt{100} = 10\) см. Таким образом, длина искомого отрезка BC равна 10 см.
