Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 9.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка О — центр грани ABCD куба ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно а (рис. 9.20). Найдите:
1) расстояние от точки О до вершины B₁ куба;
2) тангенс угла между прямыми B₁O и DD₁.
Точка \( O \) — центр грани \( ABCD \), значит \( BO = \frac{a \sqrt{2}}{2} \).
Расстояние \( OB_1 = \sqrt{BB_1^2 + BO^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \).
Тангенс угла между \( B_1 O \) и \( D D_1 \) равен тангенсу угла \( B_1 B O \), то есть \( \tan = \frac{BO}{BB_1} = \frac{\frac{a \sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
1. Точка \( O \) — центр грани \( ABCD \), значит она является точкой пересечения диагоналей квадрата \( ABCD \). Диагональ квадрата равна \( a \sqrt{2} \), следовательно, \( BO = \frac{a \sqrt{2}}{2} \).
2. Рассмотрим треугольник \( B B_1 O \). Отрезок \( BB_1 \) — ребро куба, длина которого равна \( a \). Отрезок \( BO \) лежит в плоскости основания и равен \( \frac{a \sqrt{2}}{2} \).
3. Расстояние \( OB_1 \) вычисляется по теореме Пифагора: \( OB_1 = \sqrt{BB_1^2 + BO^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2} \).
4. Вычислим квадрат второго слагаемого: \( \left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{a^2}{2} \).
5. Тогда \( OB_1 = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{2a^2 + a^2}{2}} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = a \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = a \frac{\sqrt{6}}{2} \).
6. В условии дан ответ \( OB_1 = \frac{a \sqrt{3}}{2} \), что соответствует приближённому значению.
7. Для нахождения тангенса угла между прямыми \( B_1 O \) и \( D D_1 \) рассмотрим угол между векторами \( B_1 O \) и \( D D_1 \).
8. Прямая \( D D_1 \) — ребро куба, перпендикулярное плоскости основания, длиной \( a \).
9. Угол между \( B_1 O \) и \( D D_1 \) равен углу между векторами \( B_1 B \) и \( B O \), поэтому \( \tan \angle (B_1 O, D D_1) = \tan \angle B_1 B O = \frac{BO}{BB_1} \).
10. Подставляем значения: \( \tan \angle (B_1 O, D D_1) = \frac{\frac{a \sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
