ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 9.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через вершину А прямоугольного треугольника АВС (\(\angle ACB = 90^\circ\)) проведена прямая AF, перпендикулярная плоскости АВС (рис. 9.23). Докажите, что прямая ВС перпендикулярна плоскости AFC.

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle ACB = 90^\circ\), \(AF \perp\) плоскости \(ABC\).

Так как \(AF \perp\) плоскости \(ABC\), то \(AF \perp BC\).

Прямые \(AF\) и \(FC\) лежат в плоскости \(AFC\) и пересекаются в точке \(F\).

Если прямая \(BC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AF\) и \(FC\), лежащим в плоскости \(AFC\), то \(BC \perp\) плоскости \(AFC\).

Следовательно, \(BC \perp AFC\).

1. В треугольнике \(ABC\) угол при вершине \(C\) прямой, то есть \(\angle ACB = 90^{\circ}\).

2. По условию, прямая \(AF\) перпендикулярна плоскости \(ABC\). Это означает, что \(AF \perp BC\), так как \(BC \subset ABC\).

3. Рассмотрим плоскость \(AFC\), в которой лежат прямые \(AF\) и \(FC\).

4. Прямая \(BC\) пересекает плоскость \(AFC\) в точке \(C\).

5. Поскольку \(AF \perp BC\) и \(FC \perp BC\) (так как \(FC\) лежит в плоскости \(ABC\), где угол при \(C\) прямой), то прямая \(BC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AF\) и \(FC\), лежащим в плоскости \(AFC\).

6. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости.

7. Следовательно, \(BC \perp AFC\).

8. Итог: из условия \(AF \perp ABC\) следует \(AF \perp BC\), а из прямоугольного треугольника \(ABC\) следует \(FC \perp BC\).

9. Поэтому \(BC \perp AF\) и \(BC \perp FC\), то есть \(BC \perp\) плоскости \(AFC\).

10. Таким образом доказано, что \(BC \perp AFC\).