ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 9.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(K\) — середина ребра \(DA\) тетраэдра \(DABC\), все рёбра которого равны. Докажите, что прямая \(AD\) перпендикулярна плоскости \(BKC\).

В тетраэдре \(DABC\) с равными рёбрами точка \(K\) — середина ребра \(DA\). Тогда треугольник \(BKC\) равнобедренный, так как \(KB = KC\).

В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые из вершины \(K\), совпадают, значит \(KH\) — высота и медиана.

Поскольку \(KH \perp BC\) и \(AD\) является медианой в треугольнике \(ADC\), то \(AD \perp \text{плоскости } BKC\).

Итого: \(AD \perp BKC\).

1. Рассмотрим правильный тетраэдр \(DABC\), у которого все рёбра равны: \(DA = DB = DC = AB = AC = BC\).

2. Точка \(K\) — середина ребра \(DA\), значит \(DK = KA = \frac{1}{2} DA\).

3. Рассмотрим треугольник \(BKC\). Поскольку \(DB = DC\) и \(K\) лежит на отрезке \(DA\), то \(KB = KC\), следовательно, треугольник \(BKC\) равнобедренный.

4. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины \(K\), совпадает с медианой и биссектрисой. Обозначим точку основания высоты на \(BC\) как \(H\), тогда \(KH \perp BC\).

5. Рассмотрим плоскость \(BKC\). Высота \(KH\) перпендикулярна стороне \(BC\) в этой плоскости.

6. В равностороннем тетраэдре ребро \(AD\) перпендикулярно плоскости основания \(ABC\), так как оно соединяет вершину \(D\) с центром основания.

7. Поскольку \(K\) лежит на ребре \(DA\), а \(KH\) — высота в плоскости \(BKC\), то \(AD\) перпендикулярно и к \(KH\), и к \(BC\).

8. Из двух взаимно перпендикулярных прямых \(KH\) и \(BC\), лежащих в плоскости \(BKC\), следует, что \(AD\) перпендикулярно всей плоскости \(BKC\).

9. Таким образом, \(AD \perp \text{плоскости } BKC\).

10. Итог: доказано, что \(AD \perp BKC\).