ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 9.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Образом прямой при симметрии относительно данной плоскости является сама эта прямая. Определите взаимное расположение этой прямой и данной плоскости.

При симметрии относительно плоскости образ прямой совпадает с самой прямой.

Если прямая лежит в плоскости, то она не изменится при отражении.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она также совпадает с образом при отражении.

Значит, прямая либо лежит в плоскости, либо перпендикулярна ей.

0.18. При симметрии относительно плоскости образом точки, лежащей в этой плоскости, является сама эта точка.

1. Рассмотрим прямую, образ которой при симметрии относительно данной плоскости совпадает с самой прямой.

2. Если прямая лежит в плоскости, то при отражении относительно этой плоскости каждая точка прямой остаётся на месте, значит, образ прямой совпадает с ней самой.

3. Если прямая перпендикулярна плоскости, то отражение меняет направление вектора на противоположное, но так как прямая бесконечна в обе стороны, образ совпадает с исходной прямой.

4. Если прямая не лежит в плоскости и не перпендикулярна ей, то при отражении её образ будет другой прямой, не совпадающей с исходной.

5. Следовательно, для того чтобы прямая совпала с образом при симметрии относительно плоскости, она должна либо лежать в плоскости, либо быть перпендикулярна ей.

6. Обозначим плоскость через \( \alpha \), прямую через \( l \).

7. Если \( l \subset \alpha \), то \( l’ = l \), где \( l’ \) — образ прямой \( l \) при симметрии относительно \( \alpha \).

8. Если \( l \perp \alpha \), то \( l’ = l \) так как отражение меняет направление, но не саму прямую.

9. В остальных случаях \( l’ \neq l \).

10. Итог: прямая либо лежит в плоскости, либо перпендикулярна ей.