ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 9.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В тетраэдре \(DABC\) известно, что \(AB = AC\), \(\angle BAD = \angle CAD\). Докажите, что \(AD \perp BC\).

В тетраэдре \(DABC\) точка \(K\) — середина \(BC\), значит \(AK\) — медиана.

Так как \(AB = AC\) и \(\angle BAD = \angle CAD\), треугольник \(ABC\) равнобедренный, поэтому медиана \(AK\) является также высотой, то есть \(AK \perp BC\).

Поскольку \(K\) лежит на \(AD\), то \(AD \perp BC\).

1. Рассмотрим тетраэдр \(DABC\) с условием \(AB = AC\) и \(\angle BAD = \angle CAD\).

2. Обозначим точку \(K\) как середину отрезка \(BC\), тогда \(K\) делит \(BC\) пополам, то есть \(BK = KC\).

3. Отрезок \(AK\) является медианой треугольника \(ABC\), так как соединяет вершину \(A\) с серединой \(BC\).

4. Из равенства сторон \(AB = AC\) и равенства углов \(\angle BAD = \angle CAD\) следует, что треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(BC\).

5. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой, то есть \(AK \perp BC\).

6. Поскольку \(K\) лежит на отрезке \(AD\), то \(AK\) совпадает с \(AD\), следовательно, \(AD \perp BC\).

7. Таким образом, из данных условий следует, что \(AD\) перпендикулярен \(BC\).