ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 9.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Отрезок \(BD\) является общей медианой равнобедренных треугольников \(ABC\) и \(EFB\), лежащих в разных плоскостях (\(BA = BC\) и \(BE = BF\)). Докажите, что прямая \(BD\) перпендикулярна плоскости \(AEC\).

Отрезок \(BD\) является высотой и медианой треугольника \(ABC\), значит \(BD \perp AC\).

Отрезок \(BD\) также является высотой и медианой треугольника \(EFB\), значит \(BD \perp EF\).

Прямые \(AC\) и \(EF\) пересекаются в точке \(E\) и лежат в плоскости \(AEC\).

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Следовательно, \(BD \perp \text{плоскости } AEC\).

1. Треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), следовательно, медиана \(BD\) к основанию \(AC\) является также высотой. Значит, \(BD \perp AC\).

2. Аналогично, треугольник \(EFB\) равнобедренный с основанием \(EF\), и \(BD\) — медиана к основанию \(EF\), которая также является высотой. Следовательно, \(BD \perp EF\).

3. Прямые \(AC\) и \(EF\) пересекаются в точке \(E\) и лежат в плоскости \(AEC\).

4. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости.

5. Следовательно, \(BD \perp \text{плоскости } AEC\).