ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 9.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Параллельные прямые \(a\), \(b\) и \(c\) не лежат в одной плоскости (рис. 9.26). На прямой \(a\) отметили точку \(D\) и провели через неё две прямые, одна из которых перпендикулярна прямой \(b\) и пересекает её в точке \(F\), а другая перпендикулярна прямой \(c\) и пересекает её в точке \(E\). Докажите, что \(EF \perp b\) и \(EF \perp c\).

Дано \(a \parallel b \parallel c\), \(DF \perp b\), \(DE \perp c\).

Так как \(DF \perp b\) и \(DE \perp c\), точки \(E\) и \(F\) лежат на прямых, перпендикулярных \(b\) и \(c\) соответственно.

Отрезок \(EF\) лежит в плоскости, образованной этими перпендикулярными, поэтому \(EF \perp b\) и \(EF \perp c\).

Следовательно, \(EF \perp b\) и \(EF \perp c\).

1. Дано, что \(a \parallel b \parallel c\), то есть прямые \(a\), \(b\) и \(c\) параллельны друг другу. Это означает, что они лежат в разных плоскостях, так как условие гласит, что они не лежат в одной плоскости.

2. Точка \(D\) принадлежит прямой \(a\), то есть \(D \in a\).

3. Отрезок \(DF\) построен так, что \(DF \perp b\). Это значит, что \(DF\) перпендикулярен прямой \(b\).

4. Аналогично, отрезок \(DE\) построен так, что \(DE \perp c\), то есть \(DE\) перпендикулярен прямой \(c\).

5. Рассмотрим треугольник \(DEF\), где точки \(E\) и \(F\) лежат на прямых, перпендикулярных \(c\) и \(b\) соответственно.

6. Поскольку \(b\) и \(c\) параллельны, то плоскости, содержащие \(DF\) и \(DE\), тоже параллельны или взаимно перпендикулярны, что сохраняет перпендикулярность отрезка \(EF\) к этим прямым.

7. Отрезок \(EF\) лежит в плоскости, которая перпендикулярна и к прямой \(b\), и к прямой \(c\).

8. Следовательно, \(EF \perp b\) и \(EF \perp c\).

9. Таким образом, доказано, что отрезок \(EF\) перпендикулярен обеим прямым \(b\) и \(c\).

10. Итог: \(EF \perp b\) и \(EF \perp c\).