Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 9.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Данная точка, расположенная вне плоскости правильного треугольника, равноудалена от его вершин. Докажите, что прямая, проходящая через данную точку и центр данного треугольника, перпендикулярна плоскости треугольника.
Дано: правильный треугольник \(ABC\), точка \(D\) вне плоскости треугольника, такая что \(DA = DB = DC\).
Пусть \(O\) — центр правильного треугольника \(ABC\), тогда \(OA = OB = OC\).
Так как \(DA = DB = DC\), точки \(D\) и \(O\) лежат на оси симметрии, проходящей через центр треугольника.
По теореме о трёх перпендикулярах прямая \(DO\), перпендикулярная к стороне \(ed_1\), будет перпендикулярна плоскости \(ABC\).
Следовательно, \(DO \perp \text{плоскости } ABC\).
1. В правильном треугольнике \(ABC\) центр \(O\) является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, при этом \(OA = OB = OC\).
2. По условию, точка \(D\) расположена вне плоскости треугольника \(ABC\) и равноудалена от всех его вершин, то есть \(DA = DB = DC\).
3. Рассмотрим треугольники \(DOA\), \(DOB\), \(DOC\). В них: \(DA = DB = DC\), \(OA = OB = OC\), и \(DO\) — общая сторона.
4. Из равенства сторон следует, что \(DO\) — ось симметрии фигуры, проходящая через центр \(O\) и точку \(D\).
5. Рассмотрим плоскость \(ABC\) и проведём высоту \(ed_1\) из вершины \(A\) к стороне \(BC\).
6. По условию и свойствам правильного треугольника высота \(ed_1\) является одновременно медианой и биссектрисой.
7. Прямая \(DO\) перпендикулярна высоте \(ed_1\), так как \(D\) равноудалена от всех вершин, а \(O\) — центр треугольника.
8. По теореме о трёх перпендикулярах, если прямая \(DO\) перпендикулярна высоте \(ed_1\) в плоскости \(ABC\), то она перпендикулярна всей плоскости \(ABC\).
9. Следовательно, \(DO \perp \text{плоскости } ABC\).
10. Таким образом, доказано, что прямая, соединяющая точку \(D\) и центр \(O\) правильного треугольника \(ABC\), перпендикулярна плоскости треугольника.
