ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 9.29 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через концы \(M\) и \(N\) и точку \(K\) отрезка \(MN\), не пересекающего плоскость \(\alpha\), проведены прямые, перпендикулярные плоскости \(\alpha\) и пересекающие её в точках \(M_1\), \(N_1\) и \(K_1\) соответственно. Найдите отрезок \(NN_1\), если \(MM_1 = 14\) см, \(KK_1 = 10\) см, \(MK : KN = 3 : 5\).

Пусть \(NN_1 = x\).

По условию точка \(K_1\) делит отрезок \(M_1N_1\) в отношении \(MK : KN = 3 : 5\).

Тогда \(KK_1 = \frac{5 \cdot MM_1 + 3 \cdot NN_1}{3 + 5} = \frac{5 \cdot 14 + 3x}{8} = 10\).

Умножаем обе части на 8: \(70 + 3x = 80\).

Вычитаем 70: \(3x = 10\).

Делим на 3: \(x = \frac{10}{3}\).

Ответ: \(NN_1 = \frac{10}{3}\) см.

1. Пусть длина отрезка \(MN = x\). Тогда по условию \(MK : KN = 3 : 5\), следовательно, \(MK = \frac{3}{8}x\), \(KN = \frac{5}{8}x\).

2. Точки \(M_1, K_1, N_1\) — проекции точек \(M, K, N\) на плоскость \(\alpha\) по перпендикулярам, значит отрезки \(MM_1, KK_1, NN_1\) перпендикулярны плоскости \(\alpha\).

3. Поскольку \(K\) лежит на отрезке \(MN\), то \(K_1\) лежит на отрезке \(M_1N_1\) и делит его в том же отношении \(3 : 5\).

4. По свойству деления отрезка внутренней точкой имеем формулу для координаты \(KK_1\):

\(KK_1 = \frac{5 \cdot MM_1 + 3 \cdot NN_1}{3 + 5} = \frac{5 \cdot 14 + 3 \cdot NN_1}{8}\).

5. Из условия \(KK_1 = 10\), значит:

\(\frac{5 \cdot 14 + 3 \cdot NN_1}{8} = 10\).

6. Умножим обе части уравнения на 8:

\(5 \cdot 14 + 3 \cdot NN_1 = 80\).

7. Вычислим \(5 \cdot 14 = 70\), тогда:

\(70 + 3 \cdot NN_1 = 80\).

8. Вычтем 70 из обеих частей:

\(3 \cdot NN_1 = 10\).

9. Разделим обе части на 3:

\(NN_1 = \frac{10}{3}\).

Ответ: длина отрезка \(NN_1\) равна \(\frac{10}{3}\) см.