Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 9.33 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что прямые, проходящие через данную точку прямой и перпендикулярные этой прямой, лежат в одной плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной этой прямой.
Пусть \( M \in a \), и через \( M \) проходят прямые \( b_1, b_2, \ldots, b_n \), перпендикулярные \( a \).
Так как \( b_1 \perp a \) и \( b_2 \perp a \), то \( b_1 \) и \( b_2 \) лежат в плоскости \( \alpha \), проходящей через \( M \) и перпендикулярной \( a \).
Если предположить, что \( b_n \not\subset \alpha \), то существует прямая \( \gamma \) через \( M \), перпендикулярная \( a \), но не лежащая в \( \alpha \). Это невозможно, так как через точку и перпендикуляр к прямой проходит единственная плоскость.
Следовательно, все прямые \( b_n \), проходящие через \( M \) и перпендикулярные \( a \), лежат в одной плоскости \( \alpha \), проходящей через \( M \) и перпендикулярной \( a \).
1. Пусть \( M \in a \), где \( a \) — прямая, и через точку \( M \) проходят прямые \( b_1 \) и \( b_2 \), такие что \( b_1 \perp a \) и \( b_2 \perp a \).
2. По определению перпендикулярности, угол между \( a \) и каждой из прямых \( b_1 \), \( b_2 \) равен \( 90^\circ \).
3. Так как \( b_1 \) и \( b_2 \) пересекаются в точке \( M \), то существует плоскость \( \alpha \), содержащая обе эти прямые.
4. Плоскость \( \alpha \) проходит через точку \( M \) и содержит прямые \( b_1 \) и \( b_2 \).
5. По свойству перпендикулярности, если \( a \perp b_1 \) и \( a \perp b_2 \), то \( a \perp \alpha \).
6. Рассмотрим теперь произвольную прямую \( b_n \), проходящую через \( M \) и перпендикулярную \( a \).
7. Если предположить, что \( b_n \not\subset \alpha \), то прямая \( b_n \) не лежит в плоскости \( \alpha \), но при этом \( b_n \perp a \).
8. Это противоречит единственности плоскости, проходящей через точку \( M \) и перпендикулярной прямой \( a \).
9. Следовательно, все прямые \( b_n \), проходящие через \( M \) и перпендикулярные \( a \), лежат в одной плоскости \( \alpha \), проходящей через \( M \) и перпендикулярной \( a \).
10. Таким образом, доказано, что множество всех прямых, проходящих через точку \( M \) и перпендикулярных прямой \( a \), лежит в одной плоскости, перпендикулярной \( a \) и проходящей через \( M \).
