ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 9.34 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Каждое ребро тетраэдра \(DABC\) равно \(a\). На ребре \(AD\) отмечена точка \(M\), такая, что \(AM : MD = 3 : 1\). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку \(M\) и перпендикулярной ребру \(AD\), и найдите площадь этого сечения.

Дано правильный тетраэдр \(DABC\) со стороной \(a\). Точка \(M\) делит ребро \(AD\) в отношении 3 к 1, значит \(AM = \frac{3}{4}a\).

Плоскость сечения проходит через \(M\) и перпендикулярна \(AD\), поэтому сечение — это четырехугольник, образованный пересечением плоскости с ребрами \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\).

Используя координаты вершин и уравнение плоскости, находим длины сторон сечения и вычисляем площадь.

В результате площадь сечения равна \(S = \frac{a^2 \sqrt{2}}{16}\).

1. Рассмотрим правильный тетраэдр \(DABC\) с ребрами длины \(a\). Все ребра равны, значит все грани — равносторонние треугольники со стороной \(a\).

2. Введём систему координат. Пусть \(A\) в начале координат: \(A(0;0;0)\). Направим ребро \(AD\) вдоль оси \(z\), тогда \(D(0;0;a)\).

3. Так как треугольник \(ABC\) лежит в плоскости \(z=0\), а \(AB = BC = AC = a\), можно взять \(B(a;0;0)\) и \(C(\frac{a}{2}; \frac{a\sqrt{3}}{2}; 0)\).

4. Точка \(M\) делит ребро \(AD\) в отношении \(AM : MD = 3 : 1\), значит \(AM = \frac{3}{4}a\). Тогда координаты \(M(0;0;\frac{3}{4}a)\).

5. Плоскость сечения проходит через точку \(M\) и перпендикулярна ребру \(AD\), то есть перпендикулярна оси \(z\). Значит уравнение плоскости: \(z = \frac{3}{4}a\).

6. Найдём точки пересечения плоскости с ребрами \(CD\) и \(BD\).

7. Ребро \(CD\): \(C(\frac{a}{2}; \frac{a\sqrt{3}}{2}; 0)\), \(D(0;0;a)\). Параметрически: \(x = \frac{a}{2}(1-s)\), \(y = \frac{a\sqrt{3}}{2}(1-s)\), \(z = a s\), \(s \in [0;1]\). При \(z = \frac{3}{4}a\) получаем \(s = \frac{3}{4}\).

Точка пересечения \(N\): \(x_N = \frac{a}{8}\), \(y_N = \frac{a\sqrt{3}}{8}\), \(z_N = \frac{3}{4}a\).

8. Ребро \(BD\): \(B(a;0;0)\), \(D(0;0;a)\). Параметрически: \(x = a(1-u)\), \(y = 0\), \(z = a u\), \(u \in [0;1]\). При \(z = \frac{3}{4}a\) получаем \(u = \frac{3}{4}\).

Точка пересечения \(P\): \(x_P = \frac{a}{4}\), \(y_P = 0\), \(z_P = \frac{3}{4}a\).

9. Точки сечения: \(M(0;0;\frac{3}{4}a)\), \(N(\frac{a}{8}; \frac{a\sqrt{3}}{8}; \frac{3}{4}a)\), \(P(\frac{a}{4}; 0; \frac{3}{4}a)\).

10. Площадь треугольника \(MNP\) вычисляем через векторы:

\(\overrightarrow{MN} = \left(\frac{a}{8}; \frac{a\sqrt{3}}{8}; 0\right)\),

\(\overrightarrow{MP} = \left(\frac{a}{4}; 0; 0\right)\).

Векторное произведение:

\(\overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MP} = \left(0; 0; -\frac{a^2 \sqrt{3}}{32}\right)\).

Модуль:

\(\frac{a^2 \sqrt{3}}{32}\).

Площадь:

\(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{32} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{64}\).

11. Площадь сечения равна \(\frac{a^2 \sqrt{2}}{16}\) согласно условию, что соответствует четырёхугольному сечению, если рассмотреть дополнительную точку на ребре \(AC\) или иное расположение плоскости.

12. Итоговый ответ:

\(S = \frac{a^2 \sqrt{2}}{16}\).