ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 9.36 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через вершину \(B\) квадрата \(ABCD\) проведена прямая \(BM\), перпендикулярная плоскости квадрата. Докажите, что линия пересечения плоскостей \(ABM\) и \(CDM\) перпендикулярна плоскости \(BCM\).

Прямая \(BM\) перпендикулярна плоскости квадрата \(ABCD\), значит \(BM \perp AB\) и \(BM \perp BC\).

Плоскости \(ABM\) и \(CDM\) содержат общую прямую \(BM\). Линия их пересечения — прямая \(BM\).

Нормаль к плоскости \(BCM\) равна векторному произведению \(\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BM}\).

Поскольку \(BM\) перпендикулярна и \(BC\), и \(BM\), то \(BM \perp \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BM}\).

Значит линия пересечения плоскостей \(ABM\) и \(CDM\) (прямая \(BM\)) перпендикулярна плоскости \(BCM\).

Прямая \(BM\) проведена через вершину \(B\) и перпендикулярна плоскости квадрата \(ABCD\). Это означает, что \(BM\) перпендикулярна всем сторонам квадрата, проходящим через \(B\), то есть \(BM \perp AB\) и \(BM \perp BC\). Таким образом, векторы \(\overrightarrow{BM}\), \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) взаимно расположены так, что \(\overrightarrow{BM}\) ортогонален плоскости, в которой лежат \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\).

Плоскости \(ABM\) и \(CDM\) обе содержат прямую \(BM\), так как \(M\) лежит на прямой \(BM\). Следовательно, их линия пересечения обязательно проходит через эту прямую. Рассмотрим нормали к этим плоскостям. Нормаль к плоскости \(ABM\) равна векторному произведению \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BM}\), а нормаль к плоскости \(CDM\) равна \(\overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{BM}\). В квадрате стороны \(AB\) и \(CD\) параллельны и противоположны по направлению, то есть \(\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}\). Тогда нормали к плоскостям связаны как \(\mathbf{n}_2 = -\mathbf{n}_1\), что означает, что плоскости \(ABM\) и \(CDM\) параллельны и их линия пересечения совпадает с прямой \(BM\).

Плоскость \(BCM\) задается векторами \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{BM}\). Нормаль к этой плоскости равна векторному произведению \(\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BM}\). Поскольку \(\overrightarrow{BM}\) перпендикулярна \(\overrightarrow{BC}\), векторное произведение \(\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BM}\) перпендикулярно обеим составляющим в плоскости \(BCM\). Прямая \(BM\) перпендикулярна нормали плоскости \(BCM\), то есть \(BM \perp \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BM}\). Следовательно, прямая пересечения плоскостей \(ABM\) и \(CDM\) (прямая \(BM\)) перпендикулярна плоскости \(BCM\).