ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 9.36 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через вершину \(B\) квадрата \(ABCD\) проведена прямая \(BM\), перпендикулярная плоскости квадрата. Докажите, что линия пересечения плоскостей \(ABM\) и \(CDM\) перпендикулярна плоскости \(BCM\).

Дано: квадрат \(ABCD\), прямая \(BM \perp\) плоскости квадрата.

Плоскости \(ABM\) и \(CDM\) пересекаются по прямой, параллельной стороне \(AD\).

Прямая \(BM \perp\) плоскости квадрата, значит \(BM \perp AD\) и \(BM \perp BC\).

Плоскость \(BCM\) содержит прямые \(BC\) и \(BM\).

Так как \(BM \perp BC\) и \(BM \perp AD\), то прямая пересечения \(AD\) перпендикулярна плоскости \(BCM\).

Следовательно, линия пересечения плоскостей \(ABM\) и \(CDM\) перпендикулярна плоскости \(BCM\).

1. Пусть \(ABCD\) — квадрат, значит все стороны равны и углы между ними прямые.

2. Прямая \(BM\) перпендикулярна плоскости квадрата \(ABCD\), следовательно, \(BM \perp AB\), \(BM \perp BC\), \(BM \perp CD\), \(BM \perp AD\).

3. Рассмотрим плоскости \(ABM\) и \(CDM\). Они обе содержат \(BM\) и соответственно точки \(A, B, M\) и \(C, D, M\).

4. Линия пересечения этих двух плоскостей лежит в обеих и не совпадает с \(BM\), значит она параллельна стороне квадрата, соединяющей вершины \(A\) и \(D\), то есть прямой \(AD\).

5. Поскольку \(ABCD\) — квадрат, то \(AD \parallel BC\).

6. Плоскость \(BCM\) содержит прямые \(BC\) и \(BM\).

7. Из условия \(BM \perp BC\) и \(BM \perp AD\), следовательно, \(BM\) перпендикулярна обеим этим прямым.

8. Так как \(BM \perp BC\), а \(BC\) лежит в плоскости \(BCM\), то \(BM \perp\) плоскости \(BCM\).

9. Линия пересечения плоскостей \(ABM\) и \(CDM\) — прямая \(AD\), которая перпендикулярна \(BM\).

10. Следовательно, прямая \(AD\) перпендикулярна плоскости \(BCM\), так как она перпендикулярна нормали \(BM\) к этой плоскости.