Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 9.37 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Через вершину \(A\) треугольника \(ABC\) проведена прямая \(AD\), перпендикулярная плоскости \(ABC\). Медианы треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(E\), а медианы треугольника \(DBC\) — в точке \(F\). Докажите, что прямая \(EF\) перпендикулярна плоскости \(ABC\).
Дано: \(AD \perp \text{плоскости } ABC\).
Точка \(E\) — центр тяжести треугольника \(ABC\), значит \(E \in \text{плоскости } ABC\).
Точка \(F\) — центр тяжести треугольника \(DBC\), лежит на отрезке \(AD\), так как медиана \(DC\) и точка \(D\) вне плоскости.
Прямая \(EF\) параллельна \(AD\).
Так как \(AD \perp \text{плоскости } ABC\), то \(EF \perp \text{плоскости } ABC\).
1. По условию \(AD \perp \text{плоскости } ABC\). Это значит, что прямая \(AD\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости \(ABC\), проходящей через точку \(A\).
2. Точка \(E\) — центр тяжести треугольника \(ABC\). По свойству центра тяжести, \(E\) лежит внутри плоскости \(ABC\), то есть \(E \in \text{плоскости } ABC\).
3. Рассмотрим треугольник \(DBC\). Точка \(F\) — центр тяжести этого треугольника, значит \(F\) — пересечение медиан \(DBC\).
4. Медиана, проведённая из вершины \(D\), соединяет \(D\) с серединой стороны \(BC\). Обозначим середину \(BC\) как \(M\).
5. Поскольку \(E\) — центр тяжести \(ABC\), то \(E\) — точка пересечения медиан \(ABC\), а \(F\) — центр тяжести \(DBC\), то \(F\) лежит на отрезке \(DM\).
6. Точка \(D\) лежит на прямой \(AD\), которая перпендикулярна плоскости \(ABC\), а \(M\) и \(E\) лежат в плоскости \(ABC\).
7. Рассмотрим векторное выражение для точки \(F\). Центр тяжести делит медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Значит
\(F = \frac{D + B + C}{3}\).
8. Аналогично, \(E = \frac{A + B + C}{3}\).
9. Тогда вектор \(EF = F — E = \frac{D + B + C}{3} — \frac{A + B + C}{3} = \frac{D — A}{3}\).
10. Поскольку \(D — A\) — направляющий вектор прямой \(AD\), которая перпендикулярна плоскости \(ABC\), то и вектор \(EF\) перпендикулярен плоскости \(ABC\).
Следовательно, \(EF \perp \text{плоскости } ABC\).
