Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 9.38 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \(E\) — середина ребра \(DD_1\) куба \(ABCD A_1 B_1 C_1 D_1\). Найдите косинус угла между прямыми \(AB_1\) и \(A_1 E\).
Точка E — середина ребра DD1, значит \( E \) делит ребро пополам.
Рассматриваем угол между прямыми \( AB_1 \) и \( A_1 E \). Этот угол равен углу между \( AB_1 \) и \( B_1 K \), где \( K \) — середина ребра \( CC_1 \).
Длины отрезков: \( AB_1 = \sqrt{2} \), \( B_1 K = \frac{\sqrt{5}}{2} \).
Используем теорему косинусов для треугольника с вершиной в \( B_1 \):
\( d_{A_1 E}^2 = d_{AB_1}^2 + d_{B_1 K}^2 — 2 \cdot d_{AB_1} \cdot d_{B_1 K} \cdot \cos \angle B_1 \).
Подставляем значения и решаем уравнение:
\( \frac{2 + \sqrt{5}}{2} = 2 + \frac{5}{4} — 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \cos \angle B_1 \).
Получаем:
\( \cos \angle (AB_1, A_1 E) = \frac{\sqrt{10}}{10} \).
1. Рассмотрим куб \( ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 \) с длиной ребра, равной 1.
2. Точка \( E \) — середина ребра \( DD_1 \), тогда координаты \( E \) равны \( (0,0,\frac{1}{2}) \), если принять \( D = (0,0,0) \), \( D_1 = (0,0,1) \).
3. Координаты точек:
\( A = (0,1,0) \),
\( B_1 = (1,1,1) \),
\( A_1 = (0,1,1) \).
4. Вектор \( \overrightarrow{AB_1} = B_1 — A = (1,0,1) \).
5. Вектор \( \overrightarrow{A_1 E} = E — A_1 = (0, -1, -\frac{1}{2}) \).
6. Найдем длины векторов:
\( |\overrightarrow{AB_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} \),
\( |\overrightarrow{A_1 E}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \).
7. Найдем скалярное произведение:
\( \overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{A_1 E} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} \).
8. Косинус угла между векторами:
\( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{A_1 E}}{|\overrightarrow{AB_1}| \cdot |\overrightarrow{A_1 E}|} = \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} \).
9. Угол между прямыми — острый, поэтому берем модуль косинуса:
\( \cos \angle (AB_1, A_1 E) = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \).
10. Ответ:
\( \cos \angle (AB_1, A_1 E) = \frac{\sqrt{10}}{10} \).
