Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 9.39 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Основанием пирамиды \(SABC\) является равносторонний треугольник \(ABC\), сторона которого равна \(4\sqrt{2}\) см. Ребро \(SC\) перпендикулярно плоскости основания и равно 2 см. Точки \(M\) и \(K\) — середины рёбер \(BC\) и \(AB\) соответственно. Найдите угол между прямыми \(SM\) и \(CK\).
Основание \(ABC\) — равносторонний треугольник со стороной \(4 \sqrt{2}\) см. Ребро \(SC\) перпендикулярно плоскости основания и равно 2 см. Точки \(M\) и \(K\) — середины рёбер \(BC\) и \(AB\).
Координаты: \(C(0,0,0)\), \(B(4 \sqrt{2},0,0)\), \(A(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{6},0)\), \(S(0,0,2)\), \(M(2 \sqrt{2},0,0)\), \(K(3 \sqrt{2}, \sqrt{6},0)\).
Векторы: \(\overrightarrow{SM} = (2 \sqrt{2},0,-2)\), \(\overrightarrow{CK} = (3 \sqrt{2}, \sqrt{6}, 0)\).
Скалярное произведение \(\overrightarrow{SM} \cdot \overrightarrow{CK} = 12\).
Длины векторов: \(|\overrightarrow{SM}| = 2 \sqrt{3}\), \(|\overrightarrow{CK}| = 2 \sqrt{6}\).
Косинус угла между векторами: \(\cos \theta = \frac{12}{2 \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
Угол \(\theta = 45^\circ\).
1. Дано равносторонний треугольник \(ABC\) с длиной стороны \(4 \sqrt{2}\) см. Пирамида \(SABC\), где ребро \(SC\) перпендикулярно плоскости основания и равно 2 см. Точки \(M\) и \(K\) — середины рёбер \(BC\) и \(AB\).
2. Для удобства введём систему координат так, чтобы точка \(C\) была в начале: \(C(0,0,0)\). Поскольку \(BC = 4 \sqrt{2}\), положим \(B(4 \sqrt{2}, 0, 0)\).
3. Высота равностороннего треугольника со стороной \(a = 4 \sqrt{2}\) равна \(h = \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 \sqrt{2} = 2 \sqrt{6}\).
4. Тогда точка \(A\) имеет координаты \(A(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{6}, 0)\), так как она находится на высоте \(h\) и по оси \(x\) — на середине \(BC\).
5. Точка \(S\) находится над \(C\) на высоте 2, значит \(S(0,0,2)\).
6. Точка \(M\) — середина \(BC\), значит \(M\left(\frac{0 + 4 \sqrt{2}}{2}, \frac{0 + 0}{2}, 0\right) = (2 \sqrt{2}, 0, 0)\).
7. Точка \(K\) — середина \(AB\), значит \(K\left(\frac{2 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}}{2}, \frac{2 \sqrt{6} + 0}{2}, 0\right) = (3 \sqrt{2}, \sqrt{6}, 0)\).
8. Вектор \(\overrightarrow{SM} = M — S = (2 \sqrt{2}, 0, 0) — (0,0,2) = (2 \sqrt{2}, 0, -2)\).
9. Вектор \(\overrightarrow{CK} = K — C = (3 \sqrt{2}, \sqrt{6}, 0) — (0,0,0) = (3 \sqrt{2}, \sqrt{6}, 0)\).
10. Скалярное произведение \(\overrightarrow{SM} \cdot \overrightarrow{CK} = (2 \sqrt{2})(3 \sqrt{2}) + 0 \cdot \sqrt{6} + (-2) \cdot 0 = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12\).
11. Длина вектора \(\overrightarrow{SM} = \sqrt{(2 \sqrt{2})^{2} + 0^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{8 + 0 + 4} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}\).
12. Длина вектора \(\overrightarrow{CK} = \sqrt{(3 \sqrt{2})^{2} + (\sqrt{6})^{2} + 0^{2}} = \sqrt{18 + 6} = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}\).
13. Косинус угла между векторами равен \(\cos \theta = \frac{\overrightarrow{SM} \cdot \overrightarrow{CK}}{|\overrightarrow{SM}| \cdot |\overrightarrow{CK}|} = \frac{12}{2 \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{6}} = \frac{12}{4 \sqrt{18}} = \frac{12}{4 \cdot 3 \sqrt{2}} = \frac{12}{12 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
14. Следовательно, угол \(\theta = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = 45^\circ\).
