ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 9.40 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 5 см и 9 см. Найдите расстояние от данной точки до этой прямой, если одна из наклонных на 2 см больше другой.

Обозначим \(MH = x\), \(MA = x\), \(MB = x + 2\).

По теореме Пифагора для наклонных:
\(x^2 — 5^2 = (x + 2)^2 — 9^2\).

Раскроем скобки:
\(x^2 — 25 = x^2 + 4x + 4 — 81\).

Упростим:
\(-25 = 4x — 77\).

Решим уравнение:
\(4x = 52\), \(x = 13\).

Найдем расстояние:
\(MH = \sqrt{13^2 — 5^2} = \sqrt{169 — 25} = \sqrt{144} = 12\).

Ответ: \(12\) см.

1. Обозначим расстояние от точки \(M\) до прямой \(MH\) как \(x\). Тогда наклонная \(MA\) равна \(x\), а наклонная \(MB\) равна \(x + 2\), так как она на 2 см больше.

2. По условию проекции наклонных равны: проекция первой наклонной \(MA\) равна 5 см, проекция второй наклонной \(MB\) равна 9 см.

3. Применим теорему Пифагора к треугольникам с наклонными и их проекциями. Для первой наклонной: \(MA^2 = MH^2 + 5^2\), то есть \(x^2 = MH^2 + 25\).

4. Для второй наклонной: \(MB^2 = MH^2 + 9^2\), то есть \((x + 2)^2 = MH^2 + 81\).

5. Приравняем выражения для \(MH^2\) из двух уравнений: \(x^2 — 25 = (x + 2)^2 — 81\).

6. Раскроем скобки справа: \(x^2 — 25 = x^2 + 4x + 4 — 81\).

7. Упростим уравнение: \(x^2 — 25 = x^2 + 4x — 77\).

8. Сократим \(x^2\) с обеих сторон: \(-25 = 4x — 77\).

9. Решим уравнение для \(x\): \(4x = 77 — 25\), значит \(4x = 52\), откуда \(x = 13\).

10. Подставим значение \(x\) обратно, чтобы найти расстояние \(MH\): \(MH = \sqrt{x^2 — 5^2} = \sqrt{13^2 — 25} = \sqrt{169 — 25} = \sqrt{144} = 12\) см.