ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 9.41 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Биссектриса тупого угла \(ABC\) равнобокой трапеции \(ABCD\) (\(AB = CD\)) пересекает основание \(AD\) в точке \(E\). Известно, что \(BE \perp AC\), а четырёхугольник \(BCDE\) — параллелограмм. Найдите: 1) основание \(BC\) трапеции, если её периметр равен 40 см; 2) углы трапеции.

Дано: трапеция \(ABCD\) с \(AB = CD\), \(BE\) — биссектриса угла \(ABC\), \(BE \perp AC\), \(BCDE\) — параллелограмм, периметр \(P = 40\) см.

Поскольку \(BCDE\) — параллелограмм, \(BC = DE\). Треугольник \(ABE\) равнобедренный, значит \(AB = BE = CD\).

Периметр: \(P = AB + BC + CD + DA = 2AB + BC + AD = 40\).

Из условия и решения: \(BC = \frac{40}{5} = 8\) см.

Углы: \(\angle A = \angle D = 60^\circ\), так как треугольник \(ABE\) равносторонний.

Тогда \(\angle B = \angle C = 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ\).

Ответ:

1. Трапеция \(ABCD\) равнобокая, значит \(AB = CD\). Обозначим \(AB = CD = x\).

2. По условию \(BE\) — биссектриса угла \(ABC\), и \(BE \perp AC\). Это значит, что треугольник \(ABE\) равнобедренный с равными сторонами \(AB = BE\).

3. Четырёхугольник \(BCDE\) — параллелограмм, поэтому \(BC = DE\) и \(BE = CD = x\).

4. Периметр трапеции равен \(P = AB + BC + CD + DA = 2x + BC + AD = 40\).

5. Из равенств \(BC = DE = BE = x\), подставляем в периметр: \(2x + x + AD = 40\), то есть \(3x + AD = 40\).

6. Треугольник \(ABE\) равносторонний, так как \(AB = BE = x\) и угол при \(B\) делится пополам биссектрисой \(BE\), перпендикулярной \(AC\). Значит углы при \(A\) и \(E\) равны \(60^\circ\).

7. Следовательно, углы при вершинах \(A\) и \(D\) трапеции равны \(60^\circ\).

8. Угол при вершине \(B\) равен \(120^\circ\), так как сумма углов при основании равнобокой трапеции равна \(180^\circ\): \(\angle B = 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ\).

9. Аналогично \(\angle C = 120^\circ\).

10. Из уравнения периметра и равенств сторон находим \(BC = x = 8\) см.
Ответ: