Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 9.6 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна:
1) стороне и медиане треугольника, лежащего в этой плоскости;
2) стороне и средней линии треугольника, лежащего в этой плоскости;
3) двум сторонам трапеции, лежащей в этой плоскости;
4) двум диаметрам окружности, лежащей в этой плоскости;
5) двум диагоналям правильного шестиугольника, лежащего в этой плоскости?
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости.
1) Сторона и медиана треугольника пересекаются в вершине, значит прямая перпендикулярна плоскости.
2) Сторона и средняя линия треугольника пересекаются, следовательно прямая перпендикулярна плоскости.
3) Две стороны трапеции пересекаются или являются смежными, значит прямая перпендикулярна плоскости.
4) Два диаметра окружности пересекаются в центре, значит прямая перпендикулярна плоскости.
5) Две диагонали правильного шестиугольника пересекаются, следовательно прямая перпендикулярна плоскости.
1) Пусть прямая \(l\) перпендикулярна стороне \(AB\) и медиане \(AM\) треугольника \(ABC\), лежащего в плоскости \(\alpha\). Сторона и медиана пересекаются в точке \(A\), значит они не параллельны и образуют в плоскости \(\alpha\) две пересекающиеся прямые. Если \(l \perp AB\) и \(l \perp AM\), то по определению перпендикулярности к плоскости прямая \(l\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\).
2) Пусть прямая \(l\) перпендикулярна стороне \(AB\) и средней линии \(MN\) треугольника \(ABC\), где \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AC\) и \(BC\). Средняя линия \(MN\) параллельна стороне \(AB\), но так как \(l \perp AB\) и \(l \perp MN\), а \(AB\) и \(MN\) не совпадают, то \(l\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости \(\alpha\), следовательно \(l \perp \alpha\).
3) Пусть прямая \(l\) перпендикулярна двум сторонам трапеции \(ABCD\), лежащей в плоскости \(\alpha\). Стороны \(AB\) и \(BC\) пересекаются в точке \(B\), значит они пересекаются и не параллельны. Если \(l \perp AB\) и \(l \perp BC\), то \(l\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\).
4) Пусть прямая \(l\) перпендикулярна двум диаметрам окружности, лежащей в плоскости \(\alpha\). Диаметры пересекаются в центре окружности и образуют в плоскости \(\alpha\) две пересекающиеся прямые. Следовательно, если \(l \perp\) обоим диаметрам, то \(l \perp \alpha\).
5) Пусть прямая \(l\) перпендикулярна двум диагоналям правильного шестиугольника, лежащего в плоскости \(\alpha\). Диагонали пересекаются в одной точке и не параллельны, образуя две пересекающиеся прямые в плоскости \(\alpha\). Если \(l \perp\) обеим диагоналям, то \(l \perp \alpha\).
