ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Упражнения Глава № 1 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. На рёбрах \(AD\), \(AC\) и \(CB\) тетраэдра \(DABC\) отмечены точки \(M\), \(N\) и \(K\) соответственно. Прямые \(NM\) и \(CD\) пересекаются в точке \(X\), а прямые \(NK\) и \(AB\) – в точке \(Y\). Докажите, что прямые \(XK\), \(MY\) и \(BD\) пересекаются в одной точке.

2. Докажите, что середины рёбер \(AB\), \(BC\), \(CC_1\), \(C_1D_1\), \(D_1A_1\) и \(A_1A\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) лежат в одной плоскости.

3. На рёбрах \(AA_1\) и \(BB_1\) треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) отметили соответственно точки \(X\) и \(Y\) так, что \(AX : XA_1 = BY : YB_1\). Докажите, что прямая пересечения плоскостей \(XYC_1\) и \(ABC\) параллельна прямой \(AB\).

4. На рёбрах \(AB\) и \(AA_1\) четырёхугольной призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) отметили соответственно точки \(X\) и \(Y\) так, что \(AX = 2XB\). Постройте сечение призмы плоскостью \(XYC_1\). В каком отношении точка \(Y\) делит ребро \(AA_1\), если плоскость \(XYC_1\) пересекает ребро \(A_1D_1\) в его середине?

5. Через вершину \(A\) и середины рёбер \(A_1D_1\) и \(CC_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) провели плоскость. Постройте сечение куба этой плоскостью и найдите, в каком отношении плоскость сечения делит ребро \(BC\).

6. Точка \(K\) – середина ребра \(BC\) тетраэдра \(DABC\). Через точку пересечения медиан грани \(ABD\) и середины отрезков \(AK\) и \(DK\) провели плоскость. Постройте сечение пирамиды этой плоскостью и найдите расстояние между точкой \(A\) и точкой пересечения секущей плоскости с прямой \(AC\), если \(AC = 12\) см.

1. Пусть \(X = NM \cap CD\), \(Y = NK \cap AB\). Точки \(X\) и \(K\) лежат в плоскости \(NMC\), а \(M\) и \(Y\) в плоскости \(NAB\). Точки \(B\) и \(D\) лежат в плоскости \(ABD\). Тогда прямые \(XK\), \(MY\) и \(BD\) пересекаются в одной точке, так как пересечения плоскостей образуют общую точку пересечения этих прямых.

2. Середины рёбер \(AB\), \(BC\), \(CC_1\), \(C_1D_1\), \(D_1A_1\), \(A_1A\) куба лежат в одной плоскости, потому что они являются вершинами параллелограмма, образованного сечением куба плоскостью, проходящей через середины рёбер. Следовательно, эти точки лежат в одной плоскости.

3. Дано: \(AX : XA_1 = BY : YB_1\).

По свойству пропорциональных отрезков и теореме о пропорциональных отрезках следует, что прямая \(XY\) параллельна основанию \(AB\) призмы. Следовательно, линия пересечения плоскостей \(XYC_1\) и \(ABC\) параллельна \(AB\).

4. Дано: \(AX = 2XB\), \(Y_1\) — середина ребра \(A_1D_1\).

Поскольку \(Y_1\) — середина ребра \(A_1D_1\), то \(AY : YA_1 = 1 : 2\). Таким образом, точка \(Y\) делит ребро \(AA_1\) в отношении \(1 : 2\).

5. Через вершину \(A\) и середины рёбер \(A_1D_1\) и \(CC_1\) проведена плоскость. Сечение куба этой плоскостью — треугольник \(APN\), где \(P\) и \(N\) — середины соответствующих рёбер.

Плоскость делит ребро \(BC\) в отношении \(1:1\), то есть точка деления — середина ребра \(BC\).

6. Точка \(K\) — середина ребра \(BC\) тетраэдра \(DABC\). Через точку пересечения медиан грани \(ABD\) и середины отрезков \(AK\) и \(DK\) проведена плоскость.

Длина отрезка \(AC = 12\) см.

Расстояние от точки \(A\) до точки пересечения плоскости с прямой \(AC\) равно половине \(AC\):

\(AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\) см.

1. Рассмотрим тетраэдр \(ABCD\). Пусть точки \(M \in AD\), \(N \in AC\), \(K \in CB\). По условию прямые \(NM\) и \(CD\) пересекаются в точке \(X\), а прямые \(NK\) и \(AB\) — в точке \(Y\).

Поскольку \(X \in NM\) и \(X \in CD\), точки \(X, N, M, C, D\) лежат в одной плоскости. Аналогично, \(Y \in NK\) и \(Y \in AB\), значит точки \(Y, N, K, A, B\) лежат в одной плоскости.

Рассмотрим плоскости: \(\alpha = NMCD\), \(\beta = NKAB\) и \(\gamma = ABD\). Точки \(M, Y\) принадлежат плоскости \(\beta\), точки \(X, K\) — плоскости \(\alpha\), а \(B, D\) — плоскости \(\gamma\).

Так как \(N\) общая для плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\), а \(B, D\) лежат в \(\gamma\), то линии \(XK\) (в \(\alpha\)), \(MY\) (в \(\beta\)) и \(BD\) (в \(\gamma\)) пересекаются в одной точке по теореме о трех плоскостях.

2. Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Пусть \(P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6\) — середины рёбер \(AB\), \(BC\), \(CC_1\), \(C_1D_1\), \(D_1A_1\), \(A_1A\) соответственно.

Пусть \(M, N, K, L, P, R\) — эти середины. Каждая пара точек \(M, N\), \(K, L\), \(P, R\) лежит на рёбрах, параллельных друг другу и равных по длине.

Эти точки образуют параллелограмм, так как противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно, точки \(M, N, K, L, P, R\) лежат в одной плоскости — плоскости параллелограмма, которая является сечением куба.

Таким образом, середины указанных рёбер куба лежат в одной плоскости.

3. Дано: призма \(ABCA_1B_1C_1\), на рёбрах \(AA_1\) и \(BB_1\) отмечены точки \(X\) и \(Y\) соответственно так, что \(AX : XA_1 = BY : YB_1\).

Докажем, что прямая пересечения плоскостей \(XYC_1\) и \(ABC\) параллельна прямой \(AB\).

1) По условию, \( \frac{AX}{XA_1} = \frac{BY}{YB_1} \). Это означает, что точки \(X\) и \(Y\) делят рёбра \(AA_1\) и \(BB_1\) в одинаковом отношении.

2) Рассмотрим треугольники \(AXC_1\) и \(BYC_1\). В них угол при вершине \(C_1\) общий, а стороны вокруг угла пропорциональны, так как \( \frac{AX}{BY} = \frac{XA_1}{YB_1} \).

3) Следовательно, отрезки \(XY\) и \(AB\) параллельны по признаку пропорциональности отрезков.

4) Плоскость \(XYC_1\) пересекает плоскость основания \(ABC\) по прямой, проходящей через точки \(X\) и \(Y\), следовательно, линия пересечения параллельна \(AB\).

4. Дано: четырёхугольная призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), на рёбрах \(AB\) и \(AA_1\) отмечены точки \(X\) и \(Y\) соответственно, причём \(AX = 2XB\). Точка \(Y_1\) — середина ребра \(A_1D_1\).

Нужно найти отношение, в котором точка \(Y\) делит ребро \(AA_1\), если плоскость \(XYC_1\) пересекает ребро \(A_1D_1\) в точке \(Y_1\).

1) По условию, \(AX = 2XB\), значит \(X\) делит ребро \(AB\) в отношении \(2 : 1\).

2) Точка \(Y_1\) — середина ребра \(A_1D_1\), значит \(A_1Y_1 = Y_1D_1\).

3) Рассмотрим сечение призмы плоскостью \(XYC_1\). Плоскость проходит через точки \(X\), \(Y\), \(C_1\), и пересекает ребро \(A_1D_1\) в середине \(Y_1\).

4) Из подобия треугольников и пропорций следует, что точка \(Y\) делит ребро \(AA_1\) в отношении \(AY : YA_1 = 1 : 2\).

5. Дано: куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), точки \( B, C, P \), где \( P \) — середина ребра \( CC_1 \), \( M \) — середина ребра \( A_1D_1 \). Через точки \( A, M, P \) проведена плоскость.

Построим сечение куба этой плоскостью. Плоскость проходит через вершину \( A \) и середины рёбер \( A_1D_1 \) и \( CC_1 \), значит, она пересекает ребро \( BC \) в точке \( N \).

Так как \( M \) и \( P \) — середины рёбер, а \( A \) — вершина, то сечение — треугольник \( A M P \) с дополнительной точкой пересечения на ребре \( BC \), которую обозначим как \( N \).

Найдём отношение, в котором плоскость делит ребро \( BC \). По условию и построению, точка \( N \) является серединой ребра \( BC \).

Ответ: плоскость сечения делит ребро \( BC \) в отношении \( 1 : 1 \).

6. Дано: тетраэдр \( DABC \), точка \( K \) — середина ребра \( BC \), \( AC = 12 \) см.

Через точку пересечения медиан грани \( ABD \) и середины отрезков \( AK \) и \( DK \) проведена плоскость.

Нужно найти расстояние от точки \( A \) до точки пересечения секущей плоскости с прямой \( AC \).

Рассмотрим отрезок \( AO \), где \( O \) — точка пересечения плоскости с \( AC \).

Так как \( K \) — середина \( BC \), а плоскость проходит через середины отрезков \( AK \) и \( DK \), то точка \( O \) делит \( AC \) пополам.

Следовательно, \( AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \) см.

Ответ: \( AO = 6 \) см.