ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Вопросы Параграф 10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. В случае, если каждая точка фигуры \(F_1\) является образом соответствующей точки фигуры \(F\) при ортогональном проектировании на плоскость или другую поверхность.
2. 1) Перпендикуляром, опущенным из точки на плоскость, называют отрезок, соединяющий данную точку с её проекцией на плоскость, причём этот отрезок перпендикулярен плоскости. 2) Наклонной, проведённой из точки к плоскости, называют отрезок, соединяющий данную точку с какой-либо другой точкой на плоскости, не совпадающей с её проекцией, причём этот отрезок не является перпендикуляром к плоскости.
3. Из одной точки к плоскости можно провести только один перпендикуляр, а наклонная, проведённая из той же точки к плоскости, всегда больше перпендикуляра.
4. Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость.
5. Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называют длину перпендикуляра, проведённого из любой точки данной прямой к плоскости.
6. Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называют длину перпендикуляра, проведённого из любой точки одной плоскости к другой плоскости.
7. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называют длину общего перпендикуляра, соединяющего эти прямые.
8. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называют отрезок, концы которого лежат соответственно на этих прямых, а сам отрезок перпендикулярен обеим этим прямым.

1. Ортогональной проекцией фигуры \(F\) на плоскость называют фигуру \(F_1\), если каждая точка \(F_1\) есть основание перпендикуляра, опущенного из соответствующей точки \(F\) на плоскость. Кратко: проекция строится через перпендикуляры.

2. Перпендикуляр — это отрезок, соединяющий точку с её проекцией на плоскость под прямым углом. Наклонная — отрезок, соединяющий точку с другой точкой на плоскости, не совпадающей с основанием перпендикуляра; угол не прямой.

3. Из любой точки вне плоскости можно провести один перпендикуляр и множество наклонных. Теорема: длина перпендикуляра меньше длины любой наклонной, проведённой из той же точки к плоскости.

4. Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Кратко: минимальное расстояние достигается по прямому углу.

5. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости — длина перпендикуляра, проведённого из любой точки прямой к плоскости. Кратко: выбираем любую точку прямой и строим перпендикуляр.

6. Расстояние между двумя параллельными плоскостями — длина перпендикуляра, соединяющего эти плоскости. Кратко: любой перпендикуляр между плоскостями будет одинаковой длины.

7. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми — длина общего перпендикуляра, соединяющего эти прямые. Кратко: ищем отрезок, перпендикулярный обеим прямым.

8. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых — это отрезок, концы которого лежат на этих прямых, а сам он перпендикулярен обеим прямым. Кратко: единственный минимальный отрезок между прямыми, перпендикулярный обеим.

1. Ортогональная проекция фигуры \(F\) на плоскость — это преобразование, при котором каждой точке фигуры \(F\) сопоставляется точка на плоскости, полученная путем опускания перпендикуляра из этой точки на плоскость. При этом если взять любую точку \(A\) фигуры \(F\), её проекция \(A_1\) на плоскость — это основание перпендикуляра, проведённого из точки \(A\) к данной плоскости. Вся фигура \(F_1\), полученная таким образом, называется ортогональной проекцией фигуры \(F\) на плоскость. Такой способ построения гарантирует, что расстояние между точкой \(A\) и её проекцией \(A_1\) минимально среди всех возможных соединяющих точку \(A\) с точками плоскости отрезков.

2. Перпендикуляром, опущенным из точки на плоскость, называют отрезок, соединяющий исходную точку с её проекцией на плоскость, причем этот отрезок образует угол \(90^{\circ}\) с плоскостью. Например, если точка \(A\) расположена вне плоскости \(\alpha\), то её проекция \(A_1\) на плоскость — это точка, для которой отрезок \(AA_1\) перпендикулярен плоскости \(\alpha\). Наклонной называется любой другой отрезок, соединяющий точку \(A\) с точкой \(B\) на плоскости, где \(B\) не совпадает с проекцией \(A_1\), и угол между наклонной и плоскостью меньше \(90^{\circ}\). Таким образом, перпендикуляр — это единственный отрезок, который образует прямой угол с плоскостью, а наклонных можно провести бесконечно много.

3. Из любой точки вне плоскости можно провести только один перпендикуляр к этой плоскости, так как условие перпендикулярности определяет единственное направление. В то же время наклонных из той же точки к плоскости можно провести бесконечно много, поскольку для каждой точки на плоскости, кроме основания перпендикуляра, существует свой наклонный отрезок. Согласно теореме о наименьшем расстоянии, длина перпендикуляра всегда меньше длины любой наклонной, проведённой из той же точки к плоскости. Если обозначить длину перпендикуляра как \(h\), а длину наклонной как \(l\), то всегда выполняется неравенство \(h < l\).

4. Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость. Пусть точка \(A\) расположена вне плоскости \(\alpha\), тогда расстояние между точкой \(A\) и плоскостью \(\alpha\) — это длина отрезка \(AA_1\), где \(A_1\) — основание перпендикуляра, опущенного из \(A\) на \(\alpha\). Такой способ определения расстояния гарантирует, что оно будет минимальным среди всех возможных отрезков, соединяющих точку \(A\) с точками плоскости \(\alpha\), поскольку наклонная всегда длиннее перпендикуляра.

5. Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называют длину перпендикуляра, проведённого из любой точки данной прямой к плоскости. Если прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), то для любой точки \(A\) на прямой \(a\) можно опустить перпендикуляр \(AA_1\) к плоскости \(\alpha\), где \(A_1\) — основание этого перпендикуляра на плоскости. Длина такого перпендикуляра одинакова для всех точек прямой \(a\), так как прямая и плоскость параллельны, и расстояние между ними не меняется.

6. Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называют длину перпендикуляра, соединяющего эти плоскости. Пусть плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, тогда из любой точки \(A\) на одной плоскости можно опустить перпендикуляр \(AB\) к другой плоскости, где \(B\) — основание перпендикуляра на второй плоскости. Длина этого перпендикуляра всегда одинакова, независимо от выбора точки \(A\), потому что плоскости параллельны, и расстояние между ними везде одинаково.

7. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называют длину общего перпендикуляра, соединяющего эти прямые. Пусть даны две скрещивающиеся прямые \(a\) и \(b\), тогда существует единственный отрезок \(MN\), где \(M\) принадлежит прямой \(a\), \(N\) принадлежит прямой \(b\), и \(MN\) перпендикулярен обеим прямым. Длина этого отрезка \(MN\) и есть расстояние между скрещивающимися прямыми. Такой отрезок минимален среди всех возможных отрезков, соединяющих точки прямых \(a\) и \(b\).

8. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называют отрезок, концы которого лежат соответственно на этих прямых, а сам отрезок перпендикулярен обеим этим прямым. Пусть прямые \(a\) и \(b\) скрещиваются, тогда существует единственный отрезок \(MN\), где \(M\) принадлежит \(a\), \(N\) принадлежит \(b\), и \(MN\) перпендикулярен как прямой \(a\), так и прямой \(b\). Этот отрезок называется общим перпендикуляром и определяет минимальное расстояние между скрещивающимися прямыми.