Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Вопросы Параграф 11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Сформулируйте теорему о трёх перпендикулярах.
Пусть плоскость и прямая пересекаются. Из точки \(A\) вне плоскости опустим перпендикуляр \(AB\) на плоскость, а из точки \(B\) проведём прямую \(BC\) в плоскости, перпендикулярную к заданной прямой \(a\). Тогда прямая \(AC\), соединяющая точки \(A\) и \(C\), будет перпендикулярна прямой \(a\).
Это происходит потому, что если \(AB \perp \text{плоскости}\), а \(BC \perp a\) в плоскости, то треугольник \(ABC\) прямоугольный, и \(AC \perp a\) по свойству трёх перпендикуляров.
Рассмотрим плоскость \(\alpha\) и прямую \(a\), лежащую в этой плоскости. Пусть точка \(A\) находится вне плоскости \(\alpha\). Из точки \(A\) опускаем перпендикуляр \(AB\) на плоскость \(\alpha\), то есть \(AB \perp \alpha\). Точка \(B\) — основание этого перпендикуляра на плоскости. В самой плоскости \(\alpha\) из точки \(B\) проводим прямую \(BC\), такую что \(BC \perp a\). Таким образом, в плоскости \(\alpha\) прямая \(BC\) является перпендикуляром к прямой \(a\) и одновременно лежит в самой плоскости.
Теперь рассмотрим треугольник \(ABC\), где \(A\) — точка вне плоскости, \(B\) — основание перпендикуляра, а \(C\) — точка на плоскости, лежащая на прямой \(BC\). Прямая \(AC\) соединяет точку вне плоскости с точкой \(C\) на плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах утверждает, что если из точки вне плоскости проведён перпендикуляр к этой плоскости, а из основания этого перпендикуляра в плоскости проведён перпендикуляр к заданной прямой, то прямая, соединяющая исходную точку и точку пересечения второго перпендикуляра с прямой, также будет перпендикулярна этой прямой. То есть \(AC \perp a\).
Данное утверждение доказывается с помощью свойств прямых и плоскостей в пространстве. Перпендикуляр \(AB\) гарантирует, что любые прямые, проходящие через \(B\) в плоскости \(\alpha\), будут образовывать прямой угол с \(AB\). Прямая \(BC\), будучи перпендикулярной \(a\) в плоскости, задаёт направление, по которому точка \(C\) выбирается. Соединяя \(A\) и \(C\), мы получаем прямую \(AC\), которая по построению оказывается перпендикулярной прямой \(a\), поскольку лежит в плоскости, проходящей через \(A\) и \(BC\), и пересекает \(a\) под прямым углом. Это и есть суть теоремы о трёх перпендикулярах.
