Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Вопросы Параграф 12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Что называют углом между прямой и плоскостью?
Угол между прямой и плоскостью — это угол между данной прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость.
Пусть прямая \( l \) пересекает плоскость \( \alpha \) в точке \( A \). Проведём из любой точки \( B \) на прямой \( l \) перпендикуляр \( BK \) к плоскости \( \alpha \), где \( K \) — точка пересечения перпендикуляра с плоскостью. Проекция отрезка \( AB \) на плоскость — это отрезок \( AK \).
Искомый угол \( \theta \) — это угол между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AK} \), то есть угол между прямой и её проекцией на плоскость.
Если известен угол \(\phi\) между прямой и нормалью к плоскости, то угол между прямой и плоскостью равен \( \theta = 90^\circ — \phi \).
Пусть дана прямая \( l \) и плоскость \( \alpha \). Требуется найти угол между прямой и плоскостью.
Обозначим точку пересечения прямой \( l \) с плоскостью \( \alpha \) как \( A \), выберем точку \( B \) на прямой \( l \), не лежащую в плоскости.
Проведём из точки \( B \) перпендикуляр \( BK \) к плоскости \( \alpha \), где \( K \) — точка пересечения перпендикуляра с плоскостью.
Отрезок \( AK \) является ортогональной проекцией отрезка \( AB \) на плоскость \( \alpha \).
Угол между прямой \( l \) и плоскостью \( \alpha \) определяется как угол между вектором \( \overrightarrow{AB} \) и его проекцией \( \overrightarrow{AK} \) на плоскость.
Пусть направляющий вектор прямой \( l \) равен \( \vec{a} \), а нормальный вектор плоскости \( \alpha \) равен \( \vec{n} \).
Найдём косинус угла \(\phi\) между прямой \( l \) и нормалью к плоскости: \( \cos\phi = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{n}|} \).
Тогда угол между прямой и плоскостью равен \( \theta = 90^\circ — \phi \), а его синус: \( \sin\theta = \cos\phi \).
Следовательно, угол между прямой и плоскостью вычисляется по формуле: \( \sin\theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{n}|} \).
Таким образом, угол между прямой и плоскостью — это угол между данной прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость, который можно найти по формуле: \( \sin\theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{n}|} \).
