ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Вопросы Параграф 12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Что называют углом между прямой и плоскостью?

Угол между прямой и плоскостью — это угол между данной прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость.

Пусть прямая \( l \) пересекает плоскость \( \alpha \) в точке \( A \). Проведём из любой точки \( B \) на прямой \( l \) перпендикуляр \( BK \) к плоскости \( \alpha \), где \( K \) — точка пересечения перпендикуляра с плоскостью. Проекция отрезка \( AB \) на плоскость — это отрезок \( AK \).

Искомый угол \( \theta \) — это угол между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AK} \), то есть угол между прямой и её проекцией на плоскость.

Если известен угол \(\phi\) между прямой и нормалью к плоскости, то угол между прямой и плоскостью равен \( \theta = 90^\circ — \phi \).

Пусть дана прямая \( l \) и плоскость \( \alpha \). Требуется найти угол между прямой и плоскостью.

Обозначим точку пересечения прямой \( l \) с плоскостью \( \alpha \) как \( A \), выберем точку \( B \) на прямой \( l \), не лежащую в плоскости.

Проведём из точки \( B \) перпендикуляр \( BK \) к плоскости \( \alpha \), где \( K \) — точка пересечения перпендикуляра с плоскостью.

Отрезок \( AK \) является ортогональной проекцией отрезка \( AB \) на плоскость \( \alpha \).

Угол между прямой \( l \) и плоскостью \( \alpha \) определяется как угол между вектором \( \overrightarrow{AB} \) и его проекцией \( \overrightarrow{AK} \) на плоскость.

Пусть направляющий вектор прямой \( l \) равен \( \vec{a} \), а нормальный вектор плоскости \( \alpha \) равен \( \vec{n} \).

Найдём косинус угла \(\phi\) между прямой \( l \) и нормалью к плоскости: \( \cos\phi = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{n}|} \).

Тогда угол между прямой и плоскостью равен \( \theta = 90^\circ — \phi \), а его синус: \( \sin\theta = \cos\phi \).

Следовательно, угол между прямой и плоскостью вычисляется по формуле: \( \sin\theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{n}|} \).

Таким образом, угол между прямой и плоскостью — это угол между данной прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость, который можно найти по формуле: \( \sin\theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{n}|} \).