ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Вопросы Параграф 14 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Какие плоскости называют перпендикулярными?
2. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей.
3. Сформулируйте свойства перпендикулярных плоскостей.

1. Перпендикулярными называют такие плоскости, которые пересекаются по прямой, и любая прямая, лежащая в одной плоскости и перпендикулярная линии пересечения, перпендикулярна другой плоскости.

2. Признак перпендикулярности плоскостей: если одна из двух пересекающихся плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

3. Свойства перпендикулярных плоскостей: если плоскости перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в одной из них и перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости; если плоскости перпендикулярны, то их нормали также перпендикулярны, то есть угол между нормалями равен \(90^\circ\).

1. Перпендикулярными называют такие плоскости, которые пересекаются по прямой, и если в одной из плоскостей провести прямую, перпендикулярную линии их пересечения, эта прямая будет перпендикулярна второй плоскости. То есть, если плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(a\), и в плоскости \(\alpha\) есть прямая \(b\), такая что \(b \perp a\) и одновременно \(b \perp \beta\), то плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) называются перпендикулярными. Перпендикулярность плоскостей можно также определить через их нормали: если угол между нормалями этих плоскостей равен \(90^\circ\), то плоскости перпендикулярны.

2. Признак перпендикулярности плоскостей формулируется так: если одна из двух пересекающихся плоскостей содержит прямую, перпендикулярную линии пересечения, и эта прямая перпендикулярна второй плоскости, то плоскости перпендикулярны. Пусть плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(a\). Если в плоскости \(\alpha\) есть прямая \(b\), такая что \(b \perp a\) и \(b \perp \beta\), то можно утверждать, что \(\alpha \perp \beta\). Векторное выражение этого признака: если нормали \(\vec{n}_\alpha\) и \(\vec{n}_\beta\) удовлетворяют условию \(\vec{n}_\alpha \cdot \vec{n}_\beta = 0\), то угол между плоскостями \(90^\circ\).

3. Свойства перпендикулярных плоскостей включают следующее: если плоскости перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в одной из них и перпендикулярная линии их пересечения, будет перпендикулярна другой плоскости. Также если плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) перпендикулярны, то их нормали \(\vec{n}_\alpha\) и \(\vec{n}_\beta\) также перпендикулярны, то есть угол между ними равен \(90^\circ\), что выражается как \(\vec{n}_\alpha \cdot \vec{n}_\beta = 0\). Если в пространстве заданы две плоскости уравнениями \(A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\) и \(A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0\), то для их перпендикулярности должно выполняться условие \(A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0\).