ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Вопросы Параграф 15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сформулируйте теорему о площади ортогональной проекции многоугольника.

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади многоугольника на косинус угла между нормалью к плоскости многоугольника и нормалью к плоскости проекции:

Если \(S\) — площадь многоугольника, \(\alpha\) — угол между нормалями, то площадь проекции \(S’\) равна \(S’ = S \cdot \cos \alpha\).

Это следует из того, что ортогональная проекция сжимает все перпендикулярные к плоскости компоненты на множитель \(\cos \alpha\), сохраняя остальные.

Пусть дан многоугольник с площадью \(S\), расположенный в пространстве. Если этот многоугольник проецируется ортогонально на некоторую плоскость, то его площадь изменяется в зависимости от угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. Пусть \(\vec{n}_1\) — нормальный вектор к плоскости многоугольника, а \(\vec{n}_2\) — нормальный вектор к плоскости проекции. Угол между ними обозначим как \(\alpha\).

Ортогональная проекция каждого элемента площади многоугольника на плоскость осуществляется по правилу: проекция площади равна произведению исходной площади на косинус угла между нормалями. То есть, если рассмотреть элемент площади \(dS\), его проекция будет равна \(dS’ = dS \cdot \cos \alpha\). Интегрируя по всему многоугольнику, получаем, что вся площадь проекции равна \(S’ = S \cdot \cos \alpha\).

Геометрически это объясняется тем, что ортогональная проекция «сжимает» многоугольник по направлению, перпендикулярному к плоскости проекции. Если многоугольник параллелен плоскости проекции (\(\alpha = 0\)), то \(\cos \alpha = 1\) и площадь не изменяется: \(S’ = S\). Если многоугольник перпендикулярен плоскости проекции (\(\alpha = \frac{\pi}{2}\)), то \(\cos \alpha = 0\) и площадь проекции равна нулю: \(S’ = 0\). В общем случае формула \(S’ = S \cdot \cos \alpha\) позволяет вычислить площадь ортогональной проекции любого многоугольника на любую плоскость, зная угол между их нормалями.