ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Вопросы Параграф 5 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Прямую и плоскость называют параллельными, если они не имеют общих точек, то есть их пересечение есть \(\emptyset\), или если прямая лежит в данной плоскости.

2. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

3. Отрезок называют параллельным плоскости, если его продолжение является прямой, параллельной данной плоскости.

4. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Если две прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются, то они параллельны.

1. Прямая и плоскость параллельны, если не имеют общих точек (\(\emptyset\)), либо прямая полностью лежит в плоскости. Это означает, что их пересечение либо пусто, либо совпадает с прямой.

2. Признак параллельности: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Кратко: достаточно найти в плоскости прямую, параллельную данной.

3. Отрезок параллелен плоскости, если его продолжение — прямая, параллельная плоскости. То есть, если вся прямая, на которой лежит отрезок, параллельна плоскости.

4. Теоремы: если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу. Если две прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются, то они параллельны. Это достаточные условия, чтобы утверждать параллельность прямых в пространстве.

1. Прямая и плоскость называются параллельными в том случае, если между ними отсутствуют общие точки, то есть их пересечение есть \(\emptyset\), либо если вся прямая полностью содержится в данной плоскости. В первом случае прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки: например, если прямая проходит в пространстве так, что ни одна точка этой прямой не лежит на плоскости, то их пересечение — пустое множество (\(\emptyset\)). Во втором случае прямая лежит в плоскости, то есть все точки прямой одновременно являются точками плоскости, и тогда говорят, что прямая параллельна плоскости по определению. Важно отметить, что если прямая пересекает плоскость хотя бы в одной точке, но не лежит в ней полностью, то такие объекты не считаются параллельными.

В пространстве для проверки параллельности прямой и плоскости часто используют векторные методы. Если прямая задана направляющим вектором \(\vec{v}\), а плоскость задана нормальным вектором \(\vec{n}\), то прямая будет параллельна плоскости, если их векторы перпендикулярны, то есть \(\vec{v} \cdot \vec{n} = 0\). Это значит, что прямая ни в одной точке не «проткнёт» плоскость, а будет идти «рядом» с ней, не пересекаясь. Если же \(\vec{v} \cdot \vec{n} \neq 0\), то прямая пересекает плоскость.

2. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Пусть дана плоскость \(\alpha\) и прямая \(a\). Если существует другая прямая \(b\), такая что \(b \subset \alpha\) и \(a \parallel b\), то по определению \(a \parallel \alpha\). Это утверждение основано на том, что если две прямые параллельны, то они имеют одинаковое направление, и если одна из них лежит в плоскости, то другая не может пересечь эту плоскость, иначе они бы пересеклись. Например, если плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(A\), \(B\) и \(C\), а прямая \(b\) лежит в этой плоскости и проходит через точки \(A\) и \(B\), то любая прямая \(a\), имеющая то же направление, что и \(b\), но не лежащая в \(\alpha\), будет параллельна всей плоскости \(\alpha\).

Для практического применения признака параллельности можно воспользоваться координатами. Если у прямой \(a\) и прямой \(b\), лежащей в плоскости \(\alpha\), совпадают направляющие векторы, то прямые параллельны. Если прямая \(a\) не лежит в плоскости \(\alpha\), но её направляющий вектор совпадает с направляющим вектором прямой \(b\), то \(a \parallel \alpha\).

3. Отрезок называется параллельным плоскости, если вся прямая, на которой он лежит, параллельна данной плоскости. Пусть отрезок \(AB\) лежит на прямой \(a\). Если \(a \parallel \alpha\), где \(\alpha\) — плоскость, то говорят, что и сам отрезок \(AB\) параллелен плоскости \(\alpha\). Это означает, что ни одна точка отрезка не принадлежит плоскости \(\alpha\), и если продолжить отрезок в обе стороны, то вся прямая не будет пересекать плоскость. Например, если плоскость \(\alpha\) задана уравнением \(Ax + By + Cz + D = 0\), а отрезок \(AB\) лежит на прямой, направляющий вектор которой перпендикулярен нормальному вектору плоскости (\(\vec{v} \cdot \vec{n} = 0\)), то этот отрезок параллелен плоскости \(\alpha\).

В геометрических задачах часто требуется проверить, параллелен ли отрезок плоскости. Для этого определяют уравнение прямой, на которой лежит отрезок, и уравнение плоскости, затем проверяют, пересекаются ли эти объекты. Если нет общих точек (\(\emptyset\)), то отрезок параллелен плоскости.

4. В пространстве действует важное свойство: если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой. Пусть \(a \parallel c\) и \(b \parallel c\), тогда \(a \parallel b\). Это следует из транзитивности параллельности: если направления двух прямых совпадают с направлением третьей прямой, то их направления совпадают и между собой. Кроме того, если две прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются, то они параллельны. Пусть \(a\) и \(b\) лежат в плоскости \(\alpha\), и \(a \cap b = \emptyset\), то \(a \parallel b\). Это определение параллельных прямых в плоскости, где две прямые либо совпадают, либо не пересекаются. В пространстве, если прямые не лежат в одной плоскости, они называются скрещивающимися и не являются параллельными.

Для доказательства этих свойств используют аксиомы геометрии и свойства векторов. Если у двух прямых совпадают направляющие векторы, то они параллельны. Если прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, то они не пересекаются и, следовательно, параллельны по определению.