Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Вопросы Параграф 7 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
1. Опишите, в каком случае говорят, что фигура \(F_1\) получена в результате преобразования фигуры \(F\).
2. Опишите преобразование фигуры, которое называют параллельным переносом.
3. Опишите преобразование фигуры, которое называют центральной симметрией.
4. Какое преобразование фигуры называют движением?
5. Какие фигуры называют равными?
6. Опишите преобразование фигуры, которое называют параллельным проектированием.
7. Сформулируйте теоремы, выражающие свойства параллельного проектирования.
1. Фигура \(F_1\) получена в результате преобразования фигуры \(F\), если существует правило, по которому каждой точке фигуры \(F\) поставлена в соответствие единственная точка фигуры \(F_1\).
2. Параллельный перенос — это преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается на один и тот же вектор, то есть \(A \rightarrow A’\), где \(A’A = \vec{a}\).
3. Центральная симметрия — преобразование, при котором каждой точке \(A\) ставится в соответствие точка \(A’\) такая, что точка \(O\) — середина отрезка \(AA’\).
4. Движением называют преобразование, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками, то есть если \(AB = A’B’\).
5. Равными называют фигуры, которые можно совместить наложением, то есть существует движение, переводящее одну фигуру в другую.
6. Параллельное проектирование — преобразование, при котором точки фигуры переносятся вдоль параллельных прямых на плоскость или прямую.
7. Теоремы: при параллельном проектировании сохраняется параллельность прямых, отношение длин отрезков на параллельных прямых не изменяется, образы равных углов равны.
1. Фигура \(F_1\) считается полученной из фигуры \(F\) в результате преобразования, если для каждой точки \(A\) фигуры \(F\) существует единственная точка \(A’\) фигуры \(F_1\), определяемая некоторым законом соответствия. Такой закон может быть задан формулой или правилом, например, отображением координат \((x, y) \rightarrow (x’, y’)\), где каждое значение \(x, y\) преобразуется по определённому закону. Таким образом, преобразование — это функция, сопоставляющая каждой точке фигуры \(F\) ровно одну точку фигуры \(F_1\), причём обратное соответствие может быть как однозначным, так и неоднозначным, в зависимости от типа преобразования. Важно, что преобразование действует на все точки фигуры, и результатом такого действия является новая фигура, обладающая определёнными свойствами, зависящими от вида преобразования.
2. Параллельный перенос — это преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается на один и тот же вектор \(\vec{a}\). Пусть точка \(A\) имеет координаты \((x, y)\), тогда после параллельного переноса она перейдёт в точку \(A’\) с координатами \((x’, y’) = (x + a_x, y + a_y)\), где \(\vec{a} = (a_x, a_y)\). Это означает, что все точки фигуры сдвигаются на одинаковое расстояние и в одном направлении, при этом сохраняются размеры, форма и ориентация фигуры. Параллельный перенос не изменяет расстояния между точками, то есть если \(AB\) — расстояние между двумя точками до переноса, то после переноса расстояние между их образами \(A’B’\) равно \(AB\). Таким образом, параллельный перенос является одним из видов движения, сохраняющего все метрические свойства фигуры.
3. Центральная симметрия — это преобразование, при котором каждой точке \(A\) соответствует точка \(A’\), расположенная так, что фиксированная точка \(O\) является серединой отрезка \(AA’\). Если координаты точки \(O\) равны \((x_0, y_0)\), а точки \(A\) — \((x, y)\), то координаты точки \(A’\) находятся по формуле \(A’ = (2x_0 — x, 2y_0 — y)\). Это означает, что точка \(A’\) является отражением точки \(A\) относительно центра \(O\), причём отрезок \(AA’\) проходит через \(O\), и \(OA = OA’\). Центральная симметрия сохраняет форму и размеры фигуры, но может изменить её положение в пространстве относительно центра симметрии. В результате такого преобразования все точки фигуры располагаются симметрично относительно выбранной точки \(O\).
4. Движением называется преобразование, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками фигуры. Это означает, что если точки \(A\) и \(B\) преобразуются в точки \(A’\) и \(B’\), то выполняется равенство \(AB = A’B’\). К движениям относятся такие преобразования, как параллельный перенос, поворот вокруг точки, центральная симметрия и отражение относительно прямой. Движения сохраняют не только расстояния, но и углы между прямыми, а также площадь фигур. Таким образом, движения являются изометриями, то есть преобразованиями, сохраняющими все метрические свойства фигур, что позволяет использовать их для сравнения и наложения фигур.
5. Равными называют фигуры, которые можно совместить наложением, то есть существует движение, переводящее одну фигуру в другую. Если фигуры \(F\) и \(F_1\) равны, то для каждой точки \(A\) фигуры \(F\) можно найти точку \(A’\) фигуры \(F_1\) такую, что расстояния между соответствующими точками сохраняются: \(AA_1 = A’A_1’\), углы между сторонами равны, а площади фигур совпадают. Это означает, что равные фигуры полностью совпадают по размеру, форме и расположению точек относительно друг друга, если одну из них перенести движением на другую.
6. Параллельное проектирование — это преобразование, при котором точки фигуры переносятся вдоль параллельных прямых (называемых направлениями проектирования) на другую плоскость или прямую. Пусть точка \(A\) имеет координаты \((x, y)\), а направление проектирования задано вектором \(\vec{d}\). Тогда образ точки \(A’\) находится на пересечении прямой, проходящей через \(A\) вдоль направления \(\vec{d}\), с целевой плоскостью или прямой. В результате такого преобразования фигура может изменять размеры, но сохраняет параллельность прямых и относительное расположение точек вдоль направления проектирования. Параллельное проектирование широко используется в стереометрии и техническом черчении для отображения трёхмерных объектов на плоскости.
7. При параллельном проектировании выполняются следующие свойства: если две прямые были параллельны до проектирования, то их образы также будут параллельны; отношение длин отрезков, лежащих на параллельных прямых, сохраняется, то есть если на одной прямой отрезки \(AB\) и \(CD\), то после проектирования \(\frac{A’B’}{C’D’} = \frac{AB}{CD}\); если углы между прямыми равны, то их образы также равны, то есть \(\angle ABC = \angle A’B’C’\). Эти свойства позволяют использовать параллельное проектирование для сохранения определённых геометрических отношений между элементами фигур при переходе из одного пространства в другое.
