ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Вопросы Параграф 8 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Углом между двумя пересекающимися прямыми называют угол между их направлениями, то есть угол между их направляющими векторами.
2. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между их параллельными им пересекающимися прямыми.
3. Две прямые в пространстве называют перпендикулярными, если угол между ними равен \(90^\circ\).
4. Два отрезка в пространстве называют перпендикулярными, если их направления перпендикулярны, то есть угол между их направляющими векторами равен \(90^\circ\).

1. Если две прямые пересекаются, угол между ними — это меньший из двух углов, образованных в точке пересечения. Его можно найти через скалярное произведение направляющих векторов: \(\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\), где \(\alpha\) — угол между прямыми.

2. Для скрещивающихся прямых угол определяется как угол между их направляющими векторами, перенесёнными так, чтобы они имели общую точку. Формула аналогична: \(\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\).

3. Две прямые в пространстве считаются перпендикулярными, если угол между их направляющими векторами равен \(90^\circ\), то есть их скалярное произведение равно нулю: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\).

4. Два отрезка в пространстве называются перпендикулярными, если угол между их направляющими векторами равен \(90^\circ\), то есть выполняется условие: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\).

1. Угол между двумя пересекающимися прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Пусть направления прямых заданы ненулевыми векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). В этом случае угол \(\alpha\) между прямыми вычисляется по формуле: \(\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\), где \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) — скалярное произведение векторов, а \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) — их длины. Скалярное произведение двух векторов \(\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})\) и \(\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})\) вычисляется как \(a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\). Абсолютное значение скалярного произведения гарантирует, что угол всегда будет острым или прямым, то есть в интервале от \(0^\circ\) до \(90^\circ\).

2. Угол между двумя скрещивающимися прямыми определяется как угол между их параллельными им пересекающимися прямыми. Для этого сначала находят направляющие векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) этих прямых, затем переносят их так, чтобы они начинались из одной точки. После этого угол между такими векторами также находится по формуле \(\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\). Это определение позволяет корректно вычислять угол между скрещивающимися прямыми, даже если они не лежат в одной плоскости, так как векторы можно свободно параллельно переносить в пространстве.

3. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между их направлениями равен \(90^\circ\). Это условие эквивалентно тому, что скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\). Если, например, \(\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})\), а \(\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})\), то условие перпендикулярности записывается как \(a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3} = 0\). Это выражение справедливо как для пересекающихся, так и для скрещивающихся прямых, если рассматривать их направления.

4. Два отрезка в пространстве называются перпендикулярными, если угол между их направлениями равен \(90^\circ\). Для этого находят направляющие векторы каждого отрезка, например, если отрезок задан точками \(A(x_{1}, y_{1}, z_{1})\) и \(B(x_{2}, y_{2}, z_{2})\), то его направляющий вектор \(\vec{a} = (x_{2} — x_{1}, y_{2} — y_{1}, z_{2} — z_{1})\). Аналогично для второго отрезка. Перпендикулярность определяется по условию: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\). Это значит, что если скалярное произведение направляющих векторов равно нулю, то угол между отрезками составляет ровно \(90^\circ\).