ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Вопросы Параграф 9 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1. Какую прямую называют перпендикулярной плоскости?
Прямую называют перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения.

2. Какой отрезок называют перпендикулярным плоскости?
Отрезок называют перпендикулярным плоскости, если он соединяет точку вне плоскости с точкой в плоскости и его продолжение является прямой, перпендикулярной плоскости.

3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

4. Сформулируйте теорему о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

5. Сформулируйте теоремы о двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости.
Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

6. Какие точки называют симметричными относительно плоскости?
Точки \(A\) и \(A_1\) называют симметричными относительно плоскости, если эта плоскость является серединной плоскостью для отрезка \(AA_1\).

7. Опишите преобразование фигуры, которое называют симметрией относительно плоскости.
Преобразование, при котором каждой точке фигуры ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно данной плоскости, называют симметрией относительно плоскости.

8. Какую фигуру называют симметричной относительно плоскости?
Фигуру называют симметричной относительно плоскости, если для каждой её точки симметричная ей точка относительно этой плоскости также принадлежит фигуре.

1. Прямая перпендикулярна плоскости, если угол между ней и любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения, равен \(90^\circ\). Это гарантирует, что прямая не лежит ни в одной из возможных направлений плоскости.

2. Отрезок перпендикулярен плоскости, если его продолжение — прямая, перпендикулярная плоскости. Такой отрезок соединяет точку вне плоскости с точкой её пересечения.

3. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости. Это признак, потому что через любые две пересекающиеся прямые можно задать всю плоскость.

4. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то по определению параллельности и перпендикулярности, вторая тоже будет перпендикулярна этой плоскости.

5. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны между собой, потому что обе имеют одинаковое направление относительно плоскости и не пересекаются.

6. Точки \(A\) и \(A_1\) симметричны относительно плоскости, если плоскость делит отрезок \(AA_1\) пополам и является серединной плоскостью. Это означает, что расстояния от каждой точки до плоскости равны.

7. Симметрия относительно плоскости — преобразование, при котором каждой точке фигуры сопоставляется точка, симметричная ей относительно плоскости. Такое преобразование сохраняет расстояния до плоскости.

8. Фигура симметрична относительно плоскости, если для каждой её точки симметричная точка также принадлежит фигуре. Это означает, что фигура совпадает сама с собой после симметрии.

1. Прямая считается перпендикулярной плоскости, если она образует угол \(90^\circ\) с любой прямой, лежащей в данной плоскости и проходящей через точку их пересечения. Пусть плоскость обозначена как \(\alpha\), а точка пересечения — \(O\). Если взять любую прямую \(a\), лежащую в плоскости \(\alpha\) и проходящую через \(O\), то прямая \(l\) будет перпендикулярна плоскости \(\alpha\), если для любой такой прямой \(a\) выполняется условие: угол между \(l\) и \(a\) равен \(90^\circ\). Это означает, что направление прямой \(l\) не совпадает ни с одним направлением в плоскости, и она «выходит» из этой плоскости, как игла, строго вертикально. Такой подход гарантирует, что прямая не может быть ни параллельна, ни наклонена к плоскости, а только строго перпендикулярна.

2. Отрезок называют перпендикулярным плоскости, если он соединяет точку вне плоскости с точкой, лежащей в плоскости, и его продолжение — прямая, перпендикулярная плоскости. Пусть точка \(A\) не принадлежит плоскости \(\alpha\), а точка \(B\) лежит в плоскости \(\alpha\). Если отрезок \(AB\) таков, что его продолжение является прямой, перпендикулярной плоскости \(\alpha\), то этот отрезок называют перпендикулярным плоскости. Важно, что точка \(B\) называется основанием перпендикуляра, а точка \(A\) — вершиной. Такой отрезок минимален по расстоянию между точкой вне плоскости и самой плоскостью, так как перпендикуляр — это кратчайший путь.

3. Признак перпендикулярности прямой и плоскости формулируется так: если прямая \(l\) проходит через точку \(O\), лежащую в плоскости \(\alpha\), и при этом она перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(a\) и \(b\), которые лежат в плоскости \(\alpha\) и проходят через точку \(O\), то прямая \(l\) перпендикулярна всей плоскости \(\alpha\). Достаточно проверить перпендикулярность только двум пересекающимся прямым, поскольку через них можно задать всё множество направлений в плоскости. Если прямая \(l\) перпендикулярна обеим этим направлениям, то она не может быть наклонена к плоскости, а только строго перпендикулярна ей.

4. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. Пусть прямые \(a\) и \(b\) параллельны (\(a \parallel b\)), и пусть прямая \(a\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\) (\(a \perp \alpha\)). Поскольку параллельные прямые имеют одинаковое направление, прямая \(b\) также будет перпендикулярна плоскости \(\alpha\). Это утверждение основано на том, что если одна прямая «выходит» из плоскости строго вертикально, то и другая, параллельная ей, будет вести себя аналогично относительно этой плоскости.

5. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они обязательно параллельны друг другу. Пусть прямые \(a\) и \(b\) перпендикулярны плоскости \(\alpha\) (\(a \perp \alpha\), \(b \perp \alpha\)). Это значит, что обе прямые образуют угол \(90^\circ\) с любыми прямыми, лежащими в плоскости \(\alpha\). Поскольку направление обеих прямых одинаково относительно плоскости, они не могут пересекаться, а только быть параллельными (\(a \parallel b\)). Это свойство используется в построениях, где требуется провести несколько перпендикуляров к одной плоскости.

6. Точки \(A\) и \(A_1\) называются симметричными относительно плоскости \(\alpha\), если плоскость \(\alpha\) является серединной плоскостью для отрезка \(AA_1\). Это означает, что точка пересечения плоскости \(\alpha\) с отрезком \(AA_1\) делит этот отрезок пополам, то есть \(\frac{AA_1}{2}\) — это расстояние от каждой точки до плоскости. При этом отрезок \(AA_1\) перпендикулярен плоскости \(\alpha\), а расстояния от \(A\) и \(A_1\) до плоскости равны. Такое определение позволяет строить симметричные точки при решении задач на симметрию.

7. Симметрия относительно плоскости — это преобразование пространства, при котором каждой точке \(A\) сопоставляется точка \(A_1\), симметричная ей относительно плоскости \(\alpha\). При этом плоскость \(\alpha\) делит отрезок \(AA_1\) пополам, а отрезок \(AA_1\) перпендикулярен плоскости. В результате симметрии расстояния между точками и плоскостью сохраняются, а фигура, подвергнутая такому преобразованию, может измениться, если не была симметрична изначально. Симметрия относительно плоскости часто используется в геометрических построениях и доказательствах.

8. Фигура называется симметричной относительно плоскости, если для каждой её точки \(A\) симметричная точка \(A_1\) относительно плоскости \(\alpha\) также принадлежит этой фигуре. Это означает, что фигура совпадает сама с собой после симметрии относительно плоскости \(\alpha\). Например, круг, расположенный симметрично относительно плоскости, после симметрии будет совпадать с самим собой. Такое свойство важно при изучении симметричных тел и фигур в пространстве.