ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 14.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На одной грани острого двугранного угла отметили точки \(A\) и \(D\) (рис. 14.17). Из точки \(A\) опустили перпендикуляры \(AB\) и \(AC\) соответственно на ребро и другую грань двугранного угла. Из точки \(D\) опустили перпендикуляры \(DE\) и \(DF\) соответственно на ребро и другую грань двугранного угла. Найдите отрезок \(DE\), если \(AB = 21\) см, \(AC = 12\) см, \(DF = 20\) см.

Треугольники ABC и DEF подобны по двум углам. Из подобия следует равенство отношений сторон: \( \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} \).

Подставляем известные значения: \( \frac{21}{DE} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \).

Находим \( DE \): \( DE = \frac{21 \cdot 5}{3} = 35 \) см.

Два треугольника ABC и DEF образованы перпендикулярами, опущенными из точек A и D на ребро и другую грань двугранного угла. Эти треугольники подобны, потому что у них равны два угла: угол при вершине ребра и прямые углы, образованные перпендикулярами. Подобие треугольников означает, что соответствующие стороны пропорциональны.

Из подобия следует равенство отношений соответствующих сторон: \( \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} \). Значит, отношение длины отрезка AB к искомому отрезку DE равно отношению длины AC к отрезку DF. Подставляя известные значения, получаем: \( \frac{21}{DE} = \frac{12}{20} \). Упрощая правую часть, получаем \( \frac{21}{DE} = \frac{3}{5} \).

Чтобы найти DE, нужно решить уравнение относительно DE. Перемножая крест-накрест, получаем \( 3 \cdot DE = 21 \cdot 5 \). Отсюда \( DE = \frac{21 \cdot 5}{3} \). Вычисляя, находим \( DE = 35 \) см. Таким образом, длина отрезка DE равна 35 сантиметрам.