ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 1.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Изобразите плоскости \( \alpha, \beta, \gamma \) и прямую \( m \), если известно, что \( \alpha \cap \beta = m \), \( \alpha \cap \gamma = m \).

Плоскости \( \alpha, \beta, \gamma \) таковы, что \( \alpha \cap \beta = m \) и \( \alpha \cap \gamma = m \). Значит прямая \( m \) является общей линией пересечения плоскости \( \alpha \) с плоскостями \( \beta \) и \( \gamma \).

Поскольку \( m \) — линия пересечения, плоскости \( \beta \) и \( \gamma \) проходят через прямую \( m \), но не пересекаются друг с другом по другой линии, иначе была бы другая общая линия.

Таким образом, на рисунке изображены три плоскости, пересекающиеся по одной прямой \( m \), которая лежит внутри плоскости \( \alpha \).

1. Рассмотрим три плоскости \( \alpha \), \( \beta \) и \( \gamma \), а также прямую \( m \), для которых известно, что пересечение плоскостей \( \alpha \) и \( \beta \) равно \( m \), то есть \( \alpha \cap \beta = m \), и пересечение плоскостей \( \alpha \) и \( \gamma \) также равно \( m \), то есть \( \alpha \cap \gamma = m \). Это означает, что прямая \( m \) лежит в плоскости \( \alpha \) и одновременно является линией пересечения с плоскостями \( \beta \) и \( \gamma \). Такая ситуация возможна только в том случае, если \( m \) — общая прямая, по которой плоскость \( \alpha \) пересекается с двумя другими плоскостями.

2. Пересечение двух плоскостей — это либо прямая, либо пустое множество, либо сама плоскость, если они совпадают. В нашем случае пересечения заданы как прямая \( m \), значит плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) пересекаются именно по этой прямой. Аналогично для плоскостей \( \alpha \) и \( \gamma \). Таким образом, прямая \( m \) лежит в плоскости \( \alpha \) и одновременно принадлежит плоскостям \( \beta \) и \( \gamma \). Это гарантирует, что \( m \subset \alpha \), \( m \subset \beta \) и \( m \subset \gamma \).

3. Рассмотрим теперь взаимное расположение плоскостей \( \beta \) и \( \gamma \). Если бы они пересекались по линии, отличной от \( m \), то это означало бы, что плоскость \( \alpha \) пересекается с \( \beta \) и \( \gamma \) по разным линиям, что противоречит условию. Если же плоскости \( \beta \) и \( \gamma \) совпадают, тогда их пересечение с \( \alpha \) также будет одной прямой \( m \). Если же они различны и пересекаются, то линия их пересечения также должна содержать \( m \), так как \( m \) лежит в обеих, иначе получилось бы две разные линии пересечения с \( \alpha \), что невозможно. Следовательно, плоскости \( \beta \) и \( \gamma \) пересекаются по прямой \( m \).

4. Таким образом, прямая \( m \) является общей линией пересечения всех трех плоскостей. Она лежит в плоскости \( \alpha \), а также в плоскостях \( \beta \) и \( \gamma \). Это значит, что все три плоскости пересекаются именно по прямой \( m \). На рисунке это отображается как линия, проходящая через все три плоскости, являющаяся их общей гранью.

5. Итоговое положение плоскостей и прямой можно сформулировать так: \( m = \alpha \cap \beta = \alpha \cap \gamma = \beta \cap \gamma \), где \( m \) — единственная прямая, лежащая в каждой из трех плоскостей. Такое расположение характерно для трех плоскостей, пересекающихся по одной общей прямой, что исключает наличие других линий пересечения между ними.