ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 1.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Изобразите плоскости \( \alpha, \beta, \gamma \) и прямые \( a, b, c \), если известно, что \( \alpha \cap \beta = c \), \( \alpha \cap \gamma = b \), \( \beta \cap \gamma = a \).

Даны плоскости \(\alpha, \beta, \gamma\) и прямые \(a, b, c\) такие, что \(\alpha \cap \beta = c\), \(\alpha \cap \gamma = b\), \(\beta \cap \gamma = a\).

Построим три плоскости так, чтобы каждая пара пересекалась по соответствующей прямой:

\(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(c\), значит \(c \subset \alpha\) и \(c \subset \beta\).

\(\alpha\) и \(\gamma\) пересекаются по прямой \(b\), значит \(b \subset \alpha\) и \(b \subset \gamma\).

\(\beta\) и \(\gamma\) пересекаются по прямой \(a\), значит \(a \subset \beta\) и \(a \subset \gamma\).

Таким образом, плоскости \(\alpha, \beta, \gamma\) пересекаются по прямым \(a, b, c\) согласно условию.

1. Даны три плоскости \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) и три прямые \(a\), \(b\), \(c\) такие, что \(\alpha \cap \beta = c\), \(\alpha \cap \gamma = b\), \(\beta \cap \gamma = a\).

2. По определению пересечения плоскостей, если \(\alpha \cap \beta = c\), то прямая \(c\) лежит одновременно в плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\).

3. Аналогично, \(\alpha \cap \gamma = b\) означает, что прямая \(b\) принадлежит плоскостям \(\alpha\) и \(\gamma\).

4. И, наконец, \(\beta \cap \gamma = a\) означает, что прямая \(a\) принадлежит плоскостям \(\beta\) и \(\gamma\).

5. Рассмотрим взаимное расположение этих прямых. Каждая из них лежит на двух плоскостях, по условию.

6. Так как прямые \(a\), \(b\), \(c\) лежат в разных парах плоскостей, и каждая пара плоскостей пересекается по своей прямой, то эти прямые не совпадают.

7. Пересечение всех трёх плоскостей \(\alpha \cap \beta \cap \gamma\) будет либо одной точкой, либо пустым множеством, так как три плоскости в общем положении пересекаются в точке.

8. Таким образом, построение трёх плоскостей с заданными прямыми пересечения возможно, и каждая пара плоскостей пересекается по указанной прямой.

9. Итог: плоскости \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) пересекаются по прямым \(c\), \(b\), \(a\) соответственно, что соответствует условию задачи.

10. Следовательно, условие \(\alpha \cap \beta = c\), \(\alpha \cap \gamma = b\), \(\beta \cap \gamma = a\) выполнено, что завершает решение.