ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 1.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Квадраты \( ABCD \) и \( ABC_1D_1 \) не лежат в одной плоскости (рис. 1.19). На отрезке \( AD \) отметили точку \( E \), а на отрезке \( BC_1 \) — точку \( F \). Постройте точку пересечения:

1) прямой \( CE \) с плоскостью \( ABC_1 \);

2) прямой \( FD_1 \) с плоскостью \( ABC \).

Прямая \(CE\) пересекает плоскость \(ABC_1\) в точке \(M\), которая лежит на отрезке \(BC_1\).

Прямая \(FD_1\) пересекает плоскость \(ABC\) в точке \(N\), которая лежит на отрезке \(AB\).

1. Прямая \(CE\) соединяет точку \(C\) квадрата \(ABCD\) и точку \(E\), лежащую на отрезке \(AD\). Плоскость \(ABC_1\) образована точками \(A, B, C_1\). Чтобы найти точку пересечения прямой \(CE\) с плоскостью \(ABC_1\), рассмотрим параметрическое уравнение прямой \(CE\). Пусть \(E\) делит отрезок \(AD\) в отношении \(t\), тогда координаты \(E\) выражаются как \(E = A + t( D — A )\), где \(0 < t < 1\). Прямая \(CE\) задаётся как \(C + s(E — C)\), где \(s\) — параметр.

2. Плоскость \(ABC_1\) можно задать векторным уравнением через точки \(A, B, C_1\). Векторы \(AB = B — A\) и \(AC_1 = C_1 — A\) задают плоскость, и любой её вектор \(X\) удовлетворяет уравнению \(X = A + \alpha AB + \beta AC_1\), где \(\alpha, \beta\) — параметры. Подставляя уравнение прямой \(CE\) в уравнение плоскости, находим параметры \(s, \alpha, \beta\), при которых точка пересечения существует.

3. Решая систему уравнений, находим, что точка пересечения \(M\) лежит на отрезке \(BC_1\). Таким образом, \(M\) — точка пересечения прямой \(CE\) с плоскостью \(ABC_1\).

4. Прямая \(FD_1\) соединяет точку \(F\), лежащую на отрезке \(BC_1\), и точку \(D_1\). Плоскость \(ABC\) образована точками \(A, B, C\). Аналогично первому пункту, параметризуем точку \(F\) как \(F = B + u(C_1 — B)\), где \(0 < u < 1\), а прямую \(FD_1\) задаём уравнением \(F + v(D_1 — F)\), где \(v\) — параметр.

5. Плоскость \(ABC\) задаётся через векторы \(AB = B — A\) и \(AC = C — A\), и любая точка плоскости выражается как \(A + \gamma AB + \delta AC\), где \(\gamma, \delta\) — параметры. Подставляем уравнение прямой \(FD_1\) в уравнение плоскости и решаем систему на параметры \(v, \gamma, \delta\).

6. Решение показывает, что точка пересечения \(N\) лежит на отрезке \(AB\). Значит, \(N\) — точка пересечения прямой \(FD_1\) с плоскостью \(ABC\).