ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 1.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

О плоскостях \( \alpha \) и \( \beta \) и прямой \( a \) известно, что \( a \cap \beta = c \), \( a \subset \alpha \), \( a \cap \beta = M \). Докажите, что \( a \cap c = M \).

Дано: \( \alpha \cap \beta = c \), \( a \subset \alpha \), \( a \cap c = M \).

Так как \( \alpha \cap \beta = c \), то \( c \subset \alpha \) и \( c \subset \beta \).

Из \( a \subset \alpha \) и \( a \cap c = M \) следует, что \( M \subset a \) и \( M \subset c \).

Поскольку \( c \subset \beta \), то \( M \subset \beta \).

Следовательно, \( M \subset a \cap \beta \).

Так как \( a \cap \beta = c \), то \( a \cap c = M \).

ч.т.д.

1. Дано: \( \alpha \cap \beta = c \); \( a \subset \alpha \); \( a \cap c = M \).

2. Докажем, что \( a \subset \beta \).

3. По определению пересечения плоскостей имеем \( \alpha \cap \beta = c \), значит \( c \subset \alpha \) и \( c \subset \beta \).

4. Поскольку \( a \subset \alpha \), то все точки прямой \( a \) лежат в плоскости \( \alpha \).

5. Из условия \( a \cap c = M \) следует, что множество точек пересечения прямой \( a \) и линии \( c \) равно \( M \), то есть \( M \subset a \) и \( M \subset c \).

6. Так как \( c \subset \beta \), то \( M \subset \beta \).

7. Значит, \( M \subset a \) и \( M \subset \beta \) одновременно, то есть \( M \subset a \cap \beta \).

8. По условию \( a \cap \beta = c \), следовательно, \( a \cap c = M \).

9. Из того, что \( M \subset a \cap \beta = c \subset \beta \), и \( a \subset \alpha \), а \( c \subset \beta \), следует, что \( a \) также принадлежит плоскости \( \beta \).

10. Таким образом, доказано, что \( a \subset \beta \). ч.т.д.