Учебник «Геометрия. 10 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского предназначен для школьников, стремящихся к глубокому освоению геометрии и подготовке к профильным экзаменам. Издание полностью соответствует современным образовательным стандартам и охватывает расширенный курс геометрии для 10 класса, позволяя развивать аналитические и пространственные навыки на высоком уровне.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 1.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
Вершина \( A \) треугольника \( ABC \) принадлежит плоскости \( \alpha \), а вершины \( B \) и \( C \) лежат вне этой плоскости. Продолжения медиан \( BM \) и \( CN \) треугольника \( ABC \) пересекают плоскость \( \alpha \) в точках \( K \) и \( E \) соответственно. Докажите, что точки \( A, K \) и \( E \) лежат на одной прямой.
Дано: \( A \in \alpha \), \( B, C \notin \alpha \), продолжения медиан \( BM \) и \( CN \) пересекают плоскость \( \alpha \) в точках \( K \) и \( E \) соответственно.
Точки \( M \) и \( N \) — середины сторон \( AC \) и \( AB \).
Так как \( M, N \in \alpha \), то отрезки \( BM \) и \( CN \), проходя через точки \( K \) и \( E \) на плоскости \( \alpha \), образуют с точкой \( A \) одну прямую.
Следовательно, \( A, K, E \) лежат на одной прямой.
1. По условию \( A \in \alpha \), а \( B, C \notin \alpha \).
2. Точки \( M \) и \( N \) — середины сторон \( AC \) и \( AB \) соответственно, значит \( M \in AC \), \( N \in AB \).
3. Продолжения медиан \( BM \) и \( CN \) пересекают плоскость \( \alpha \) в точках \( K \) и \( E \) соответственно, то есть \( BM \cap \alpha = K \), \( CN \cap \alpha = E \).
4. Поскольку \( A \in \alpha \), а \( M, N \in \alpha \) (как середины сторон, лежащих на плоскости \( \alpha \)), то отрезки \( AM \) и \( AN \) лежат в плоскости \( \alpha \).
5. Рассмотрим плоскость, проходящую через точки \( B, M, K \). По условию, \( K \in \alpha \), значит \( K \) — точка пересечения продолжения медианы \( BM \) с плоскостью \( \alpha \).
6. Аналогично, рассмотрим плоскость, проходящую через точки \( C, N, E \). По условию, \( E \in \alpha \), это точка пересечения продолжения медианы \( CN \) с плоскостью \( \alpha \).
7. Так как \( A \in \alpha \), а \( K, E \in \alpha \), точки \( A, K, E \) лежат в плоскости \( \alpha \).
8. Рассмотрим треугольник \( ABC \), медианы \( BM \) и \( CN \) пересекаются в точке \( G \) (центроид).
9. Продолжения медиан \( BM \) и \( CN \) пересекают плоскость \( \alpha \) в точках \( K \) и \( E \), которые лежат на прямых \( BM \) и \( CN \) соответственно.
10. Следовательно, точки \( A, K, E \) лежат на одной прямой, так как \( K \) и \( E \) — проекции медиан на плоскость \( \alpha \), проходящую через \( A \).
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!