ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 1.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

О плоскостях \( \alpha, \beta \) и \( \gamma \) известно, что \( \alpha \cap \beta = c \), \( \beta \cap \gamma = a \), \( \alpha \cap \gamma = b \), \( a \cap c = M \). Докажите, что \( M \in b \).

Дано: \( \alpha \cap \beta = c \), \( \beta \cap \gamma = a \), \( \alpha \cap \gamma = b \), \( a \cap c = M \).

Так как \( c \subset \alpha \) и \( c \subset \beta \), а также \( a \subset \beta \) и \( a \subset \gamma \), то \( M \in a \) и \( M \in c \) означает, что \( M \in \beta \).

Поскольку \( M \in c \subset \alpha \) и \( M \in a \subset \gamma \), то \( M \in \alpha \) и \( M \in \gamma \).

По определению \( b = \alpha \cap \gamma \), значит \( M \in b \).

1. По условию \( \alpha \cap \beta = c \), значит множество \( c \) является пересечением плоскостей \( \alpha \) и \( \beta \). Следовательно, \( c \subset \alpha \) и \( c \subset \beta \).

2. По условию \( \beta \cap \gamma = a \), множество \( a \) — пересечение плоскостей \( \beta \) и \( \gamma \). Значит, \( a \subset \beta \) и \( a \subset \gamma \).

3. По условию \( \alpha \cap \gamma = b \), множество \( b \) — пересечение плоскостей \( \alpha \) и \( \gamma \). Следовательно, \( b \subset \alpha \) и \( b \subset \gamma \).

4. Из условия \( a \cap c = M \) следует, что точка \( M \) лежит одновременно в множествах \( a \) и \( c \), то есть \( M \in a \) и \( M \in c \).

5. Поскольку \( a \subset \gamma \) и \( c \subset \alpha \), из пункта 4 следует, что \( M \in \gamma \) и \( M \in \alpha \).

6. Точка \( M \), принадлежащая одновременно плоскостям \( \alpha \) и \( \gamma \), по определению лежит в их пересечении \( b \).

7. Значит, \( M \in b \).

8. Таким образом, доказано, что если \( M \in a \cap c \), где \( a = \beta \cap \gamma \) и \( c = \alpha \cap \beta \), то \( M \in b = \alpha \cap \gamma \).

9. Итог: \( M \in b \).

10. Что и требовалось доказать.