ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 1.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны \( n \) точек, \( n > 4 \), каждые 4 из которых лежат в одной плоскости. Докажите, что все эти точки лежат в одной плоскости.

Пусть \( n = 5 \) и точки \( A, B, C, D, M \) из множества \( M \).

По условию любые 4 точки лежат в одной плоскости, значит точки \( A, B, C, D \) лежат в плоскости \( \alpha \).

Если точка \( M \) не лежит в \( \alpha \), то среди точек \( A, B, C, M \) не будет одной плоскости, что противоречит условию.

Следовательно, все \( n \) точек лежат в одной плоскости \( \alpha \).

1. Пусть \( n = 5 \) и множество точек \( M = \{A, B, C, D, M\} \).

2. По условию любые 4 точки из \( M \) лежат в одной плоскости. Рассмотрим точки \( A, B, C, D \). Они лежат в некоторой плоскости \( \alpha \).

3. Предположим, что точка \( M \) не принадлежит плоскости \( \alpha \).

4. Тогда рассмотрим 4 точки \( A, B, C, M \). По условию они должны лежать в одной плоскости, пусть это будет плоскость \( \beta \).

5. Поскольку \( A, B, C \in \alpha \) и \( A, B, C \in \beta \), то плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) совпадают, так как через три точки проходит единственная плоскость.

6. Следовательно, точка \( M \) должна лежать в плоскости \( \alpha \), что противоречит предположению.

7. Значит, точка \( M \in \alpha \).

8. Таким образом, все 5 точек \( A, B, C, D, M \) лежат в одной плоскости \( \alpha \).

9. По индукции, если для любого \( n > 4 \) любые 4 точки лежат в одной плоскости, то все \( n \) точек лежат в одной плоскости.

10. Что и требовалось доказать. ч.т.д.