ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 1.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \( M, N, K \) и \( P \), принадлежащие соответственно звеньям \( AB \), \( BC \), \( CD \) и \( DA \) замкнутой ломаной \( ABCD \), лежат в плоскости \( \alpha \). Верно ли, что точки \( A, B, C \) и \( D \) также принадлежат плоскости \( \alpha \)?

Точки \( M, N, K, P \) лежат на отрезках \( AB, BC, CD, DA \) соответственно и принадлежат плоскости \( \alpha \).

Отрезок, соединяющий две точки, лежит в плоскости, если обе точки принадлежат этой плоскости.

Поскольку \( M \in AB \), \( N \in BC \), \( K \in CD \), \( P \in DA \) и все они лежат в \( \alpha \), то отрезки \( AB, BC, CD, DA \) также лежат в \( \alpha \).

Следовательно, точки \( A, B, C, D \), являющиеся концами этих отрезков, принадлежат плоскости \( \alpha \).

1. Точки \( M, N, K, P \) лежат на отрезках \( AB, BC, CD, DA \) соответственно и принадлежат плоскости \( \alpha \).

2. По определению отрезок, соединяющий две точки, лежит в плоскости, если обе эти точки принадлежат данной плоскости.

3. Поскольку точки \( M \) и \( B \) принадлежат плоскости \( \alpha \), то отрезок \( MB \subset \alpha \). Аналогично, \( N \) и \( C \) принадлежат \( \alpha \), значит \( NC \subset \alpha \); \( K \) и \( D \) принадлежат \( \alpha \), значит \( KD \subset \alpha \); \( P \) и \( A \) принадлежат \( \alpha \), значит \( PA \subset \alpha \).

4. Точки \( M, N, K, P \) лежат на отрезках \( AB, BC, CD, DA \), значит эти отрезки пересекаются с плоскостью \( \alpha \) в точках, лежащих внутри отрезков.

5. Если отрезок пересекает плоскость в точке, не совпадающей с концами, и эта точка принадлежит плоскости, то и концы отрезка также принадлежат этой плоскости, иначе отрезок выходил бы за пределы плоскости.

6. Следовательно, точки \( A, B, C, D \), являющиеся концами отрезков \( AB, BC, CD, DA \), принадлежат плоскости \( \alpha \).

7. Таким образом, если точки \( M, N, K, P \), лежащие на сторонах четырёхугольника \( ABCD \), принадлежат плоскости \( \alpha \), то и все вершины \( A, B, C, D \) принадлежат этой плоскости.

8. Это утверждение соответствует свойствам плоскости и отрезков, лежащих в ней.

9. Значит, исходное утверждение верно.

10. Ответ: Да, верно.