ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 1.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Пять точек, являющихся серединами звеньев замкнутой ломаной \( ABCDE \), принадлежат плоскости \( \alpha \). Докажите, что точки \( A, B, C, D \) и \( E \) принадлежат этой же плоскости.

Так как ломаная замкнутая, середины её звеньев принадлежат плоскости \( \alpha \).

Каждое звено ломаной соединяет две точки, и его середина является точкой на отрезке между этими точками.

Если середины принадлежат плоскости \( \alpha \), то отрезки, соединяющие эти точки, пересекают плоскость \( \alpha \) в серединах.

По свойствам плоскости, если середина отрезка лежит в плоскости, то и концы отрезка принадлежат этой плоскости.

Следовательно, все точки \( A, B, C, D, E \) принадлежат плоскости \( \alpha \).

1. Пусть ломаная \(ABCDE\) замкнутая, и точки \(M, N, P, Q, R\) — середины звеньев \(AB, BC, CD, DE, EA\) соответственно.

2. По условию все середины \(M, N, P, Q, R\) принадлежат плоскости \( \alpha \).

3. Рассмотрим отрезок \(AB\). Точка \(M\) — его середина, значит \(M\) делит отрезок \(AB\) на два равных отрезка.

4. Если середина отрезка лежит в плоскости \( \alpha \), то и весь отрезок \(AB\) пересекает плоскость \( \alpha \) в этой точке.

5. Поскольку плоскость \( \alpha \) содержит середину \(M\) и точку \(B\) (по аналогии для других отрезков), то \(A\) и \(B\) лежат в плоскости \( \alpha \).

6. Аналогично для отрезка \(BC\) и его середины \(N\), точки \(B\) и \(C\) принадлежат плоскости \( \alpha \).

7. То же самое верно для отрезков \(CD, DE, EA\) с серединами \(P, Q, R\), соответственно.

8. Следовательно, все точки \(A, B, C, D, E\) принадлежат плоскости \( \alpha \).

9. Таким образом, если середины звеньев замкнутой ломаной лежат в плоскости, то и все вершины ломаной лежат в этой же плоскости.

10. Доказано.