ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 1.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагональ \( AC \) равнобокой трапеции \( ABCD \) (\( AB = CD \)) делит угол \( BAD \) пополам (рис. 1.20). Точка \( E \) — середина отрезка \( AB \). Прямая, проходящая через точку \( E \) параллельно основаниям трапеции, пересекает отрезок \( AC \) в точке \( K \), а отрезок \( CD \) — в точке \( F \). Найдите периметр трапеции \( ABCD \), если \( EK = 3 \) см, \( KF = 5 \) см.

Дано \(EK = 3\) см, \(KF = 5\) см, \(E\) — середина \(AB\), \(EF\) — средняя линия.

\(EF = EK + KF = 3 + 5 = 8\) см.

\(BC + AD = 2 \times EF = 2 \times 8 = 16\) см.

\(BC = 2 \times EK = 2 \times 3 = 6\) см.

\(AD = 2 \times KF = 2 \times 5 = 10\) см.

\(AB = CD = BC = 6\) см (так как треугольник \(ABC\) равнобедренный и \(AB = CD\)).

Периметр \(P = AB + BC + CD + AD = 6 + 6 + 6 + 10 = 28\) см.

1. Дано, что \(EK = 3\) см и \(KF = 5\) см, а точка \(E\) — середина отрезка \(AB\). Прямая через \(E\), параллельная основаниям трапеции, пересекает \(AC\) в точке \(K\) и \(CD\) в точке \(F\).

2. Отрезок \(EF\) является средней линией трапеции, поэтому его длина равна половине суммы оснований \(BC\) и \(AD\), то есть \(EF = \frac{BC + AD}{2}\).

3. Длина \(EF\) равна сумме отрезков \(EK\) и \(KF\), следовательно, \(EF = EK + KF = 3 + 5 = 8\) см.

4. Из формулы средней линии получаем \(BC + AD = 2 \times EF = 2 \times 8 = 16\) см.

5. Отрезок \(EK\) является средней линией треугольника \(ABC\), поэтому \(BC = 2 \times EK = 2 \times 3 = 6\) см.

6. Аналогично, отрезок \(KF\) является средней линией треугольника \(ADC\), значит \(AD = 2 \times KF = 2 \times 5 = 10\) см.

7. По условию трапеции \(AB = CD\), а треугольник \(ABC\) равнобедренный с боковой стороной \(BC = 6\) см, значит \(AB = 6\) см.

8. Следовательно, \(CD = AB = 6\) см.

9. Периметр трапеции равен сумме всех её сторон: \(P = AB + BC + CD + AD\).

10. Подставляя найденные значения, получаем \(P = 6 + 6 + 6 + 10 = 28\) см.