ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 1.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Прямая \( a \) проходит через точку \( A \) плоскости \( \alpha \). Следует ли из этого, что прямая \( a \) пересекает плоскость \( \alpha \)?

Если прямая \( a \) проходит через точку \( A \) плоскости \( \alpha \), то точка \( A \) принадлежит и прямой \( a \), и плоскости \( \alpha \).

Поскольку прямая \( a \) содержит точку \( A \), которая лежит на плоскости \( \alpha \), значит прямая \( a \) пересекает плоскость \( \alpha \) в точке \( A \).

Следовательно, из условия следует, что прямая \( a \) пересекает плоскость \( \alpha \).

1. Пусть прямая \( a \) проходит через точку \( A \), которая принадлежит плоскости \( \alpha \).

2. По определению принадлежности, если точка \( A \) лежит на плоскости \( \alpha \), то \( A \in \alpha \).

3. Так как прямая \( a \) содержит точку \( A \), то \( A \in a \).

4. Следовательно, точка \( A \) является общей точкой для прямой \( a \) и плоскости \( \alpha \).

5. По определению пересечения, если множество точек прямой и множества точек плоскости имеют непустое пересечение, то прямая пересекает плоскость.

6. В данном случае пересечение содержит точку \( A \), то есть \( a \cap \alpha = \{ A \} \neq \emptyset \).

7. Значит, прямая \( a \) пересекает плоскость \( \alpha \).

8. Таким образом, из того, что прямая \( a \) проходит через точку \( A \) плоскости \( \alpha \), следует, что прямая \( a \) пересекает плоскость \( \alpha \).

9. Итог: наличие одной общей точки гарантирует пересечение прямой и плоскости.

10. Ответ: Да, следует.