ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 1.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В комнате на люстре сидели три мухи. Одновременно они начали летать: первая — кружить вокруг люстры на одинаковой высоте, вторая — спускаться от люстры вертикально вниз и подниматься обратно, третья — перемещаться от люстры до двери и обратно. Скорость всех мух одинакова. Через какое время все три мухи окажутся в одной плоскости?

Три точки в пространстве лежат в одной плоскости, если они не коллинеарны, то есть не лежат на одной прямой.

Пусть координаты мух в момент времени \(t\) заданы как \(A(t)\), \(B(t)\), \(C(t)\).

Условие коллинеарности: вектор \( \overrightarrow{AB} \) коллинеарен вектору \( \overrightarrow{AC} \), то есть существует число \(\lambda\), такое что \( \overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{AC} \).

Если такого \(\lambda\) не существует, то точки не лежат на одной прямой и, следовательно, лежат в одной плоскости.

Таким образом, три мухи окажутся в одной плоскости, если в момент времени \(t\) их положения не коллинеарны.

Ответ: Они могут быть изначально в одной плоскости, если не сидели на одной прямой.

1. Рассмотрим три мухи, находящиеся в пространстве в момент времени \(t\) в точках с координатами \(A(t)\), \(B(t)\), \(C(t)\).

2. Первая муха движется по окружности на постоянной высоте, вторая — по вертикальной линии вниз и вверх, третья — по прямой от люстры до двери и обратно.

3. Для определения, лежат ли три точки в одной плоскости, необходимо проверить, не коллинеарны ли они, то есть не лежат ли на одной прямой.

4. Векторы \(\overrightarrow{AB}(t) = B(t) — A(t)\) и \(\overrightarrow{AC}(t) = C(t) — A(t)\) задают направление от точки \(A\) к точкам \(B\) и \(C\).

5. Точки коллинеарны, если существует число \(\lambda\), такое что \(\overrightarrow{AB}(t) = \lambda \overrightarrow{AC}(t)\).

6. Если такого \(\lambda\) не существует, то векторы не коллинеарны, следовательно, три точки не лежат на одной прямой.

7. Любые три точки, не лежащие на одной прямой, всегда определяют плоскость, то есть находятся в одной плоскости.

8. Поскольку мухи движутся с одинаковой скоростью по разным траекториям, в общем случае их положения в момент времени \(t\) не будут коллинеарны.

9. Следовательно, в любой момент времени, когда мухи не лежат на одной прямой, они находятся в одной плоскости.

10. Ответ: три мухи окажутся в одной плоскости, если их положения не коллинеарны, то есть не лежат на одной прямой.