ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка O — центр грани ABCD куба ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно a (рис. 10.24).

Найдите:

1) расстояние от точки O до вершины B₁ куба;

2) тангенс угла между прямыми B₁O и DD₁.

Расстояние от точки O до вершины \( B_1 \) куба:

\(
B_1O = a\frac{\sqrt{6}}{2}
\)

Тангенс угла между прямыми \( B_1O \) и \( DD_1 \):

\(
\tan \angle BB_1O = \frac{\sqrt{2}}{2}
\)

1) Пусть куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с ребром \( a \). Центр грани \( ABCD \) обозначим точкой \( O \). Координаты точки \( O \) будут \( \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \), а вершины \( B_1 \) — \( (a, 0, a) \).

Расстояние между точками \( O \) и \( B_1 \) вычисляется по формуле:
\(
B_1O = \sqrt{\left(a — \frac{a}{2}\right)^2 + \left(0 — \frac{a}{2}\right)^2 + (a — 0)^2}
\)
\(
B_1O = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + a^2}
\)
\(
B_1O = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + a^2}
\)
\(
B_1O = \sqrt{\frac{a^2}{2} + a^2}
\)
\(
B_1O = \sqrt{\frac{3a^2}{2}}
\)
\(
B_1O = a\frac{\sqrt{6}}{2}
\)

2) Прямая \( DD_1 \) — это вертикальное ребро куба, её направление \( (0, 0, 1) \). Вектор \( B_1O \) равен \( \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -a\right) \).

Скалярное произведение этих векторов:
\(
(-\frac{a}{2}) \cdot 0 + (\frac{a}{2}) \cdot 0 + (-a) \cdot 1 = -a
\)

Длины векторов:
\(
|B_1O| = a\frac{\sqrt{6}}{2}
\)
\(
|DD_1| = a
\)

Косинус угла между ними:
\(
\cos \theta = \frac{-a}{a\frac{\sqrt{6}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}
\)

Тангенс угла между прямыми \( B_1O \) и \( DD_1 \):
\(
\tan \theta = \frac{\sqrt{1 — \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2}}{-\frac{\sqrt{6}}{3}}
\)
\(
\tan \theta = \frac{\sqrt{1 — \frac{6}{9}}}{-\frac{\sqrt{6}}{3}}
\)
\(
\tan \theta = \frac{\sqrt{\frac{3}{9}}}{-\frac{\sqrt{6}}{3}}
\)
\(
\tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{-\frac{\sqrt{6}}{3}}
\)
\(
\tan \theta = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}
\)
\(
\tan \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\)

Поскольку угол между направлениями берём по модулю, окончательно:
\(
\tan \angle BB_1O = \frac{\sqrt{2}}{2}
\)