ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через вершину A прямоугольного треугольника ABC (\(\angle ACB = 90^\circ\)) проведена прямая AF, перпендикулярная плоскости ABC (рис. 10.27). Докажите, что прямая BC перпендикулярна плоскости AFC.

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(AF \perp (ABC)\).

Так как \(AF \perp (ABC)\), то \(AF \perp BC\).

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая \(BC\) лежит в плоскости \((ABC)\) и пересекается с прямой \(AF\), перпендикулярной плоскости \((ABC)\), то \(BC \perp (AFC)\).

Ответ: \(AF \perp (ABC) \Rightarrow AF \perp BC \Rightarrow BC \perp (AFC)\).

1. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(AF \perp (ABC)\).

2. Требуется доказать: \(BC \perp (AFC)\).

3. По условию \(AF \perp (ABC)\), значит, \(AF\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости \((ABC)\), в том числе и \(BC\). То есть \(AF \perp BC\).

4. Прямая \(BC\) лежит в плоскости \((ABC)\), а точка \(A\) также принадлежит этой плоскости.

5. Плоскость \((AFC)\) определяется по точкам \(A\), \(F\), \(C\).

6. Так как \(AF \perp (ABC)\), то \(AF\) перпендикулярна прямой \(BC\), лежащей в \((ABC)\), а также проходит через точку \(A\).

7. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая лежит в плоскости и проходит через точку пересечения с другой прямой, перпендикулярной этой плоскости, то эта прямая перпендикулярна плоскости, образованной этой точкой и двумя другими точками на перпендикулярной прямой.

8. Значит, \(BC \perp (AFC)\).

9. Запишем вывод: \(AF \perp (ABC) \Rightarrow AF \perp BC \Rightarrow BC \perp (AFC)\).