ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

На ребре AB прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ отметили точку M. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку M и перпендикулярной прямой AB.

Плоскость проходит через точку \(M\) на ребре \(AB\) и перпендикулярна прямой \(AB\).

Через точку \(M\) строим плоскость, перпендикулярную \(AB\). Эта плоскость пересекает рёбра \(AD\), \(A_1B_1\), \(DC\), \(D_1C_1\), \(BC\), \(B_1C_1\).

Сечение — многоугольник \(AMND_1K C_1\), где:
\(A\) — вершина параллелепипеда,
\(M\) — точка на \(AB\),
\(N\) — точка пересечения плоскости с \(DC\),
\(D_1\) — точка пересечения с \(D_1C_1\),
\(K\) — точка пересечения с \(B_1C_1\),
\(C_1\) — вершина \(C_1\).

Сечение строится по этим точкам.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), точка \(M\) расположена на ребре \(AB\). Требуется построить сечение, проходящее через точку \(M\) и перпендикулярное прямой \(AB\). Для этого сначала через точку \(M\) проводим плоскость, которая по определению будет содержать все точки, находящиеся на расстоянии \(r\) от \(AB\), где \(r\) — любое фиксированное расстояние, и образовывать угол \(90^\circ\) с этим ребром. Такая плоскость пересекает все рёбра, которые не параллельны \(AB\), в определённых точках, которые можно найти с помощью построения перпендикуляров.

Рассмотрим подробнее, какие рёбра пересекает эта плоскость. Она проходит через точку \(M\) на \(AB\) и пересекает рёбра, которые лежат в плоскостях, перпендикулярных \(AB\). Это рёбра \(AD\), \(DC\), \(CB\), а также соответствующие им верхние рёбра \(A_1D_1\), \(D_1C_1\), \(C_1B_1\). Точки пересечения можно определить, если провести через \(M\) прямую, перпендикулярную \(AB\), и найти её пересечения с соответствующими рёбрами. Например, если координаты точки \(A\) задать как \((0,0,0)\), а \(B\) как \((a,0,0)\), то точка \(M\) будет иметь координаты \((m,0,0)\), где \(0 < m < a\). Перпендикулярная плоскость будет иметь уравнение \(x = m\), и пересекать рёбра с такими же значениями \(x\).

В результате сечение будет многоугольником, вершины которого — это точки пересечения плоскости \(x = m\) с рёбрами параллелепипеда, не параллельными \(AB\). Например, сечение пересекает ребро \(AD\) в точке \((m,0,0)\), \(DC\) в точке \((m,b,0)\), \(A_1D_1\) в точке \((m,0,h)\), \(D_1C_1\) в точке \((m,b,h)\), где \(b\) — длина ребра \(AD\), \(h\) — высота параллелепипеда. Таким образом, сечение представляет собой прямоугольник с вершинами \((m,0,0)\), \((m,b,0)\), \((m,b,h)\), \((m,0,h)\), то есть все точки с фиксированной координатой \(x = m\) и изменяющимися \(y\) и \(z\) в пределах размеров параллелепипеда.