ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка K — середина ребра AD тетраэдра DABC, все рёбра которого равны. Докажите, что прямая AD перпендикулярна плоскости BKC.

Дано: тетраэдр \(ABCD\), все рёбра равны, \(K\) — середина \(AD\).

Треугольник \(BKC\) равнобедренный, так как \(BK = KC\).

Прямая \(KH\), проведённая из \(K\) к \(BC\), является одновременно высотой и медианой.

Так как \(K\) — середина \(AD\), а \(KH\) лежит в плоскости \(BKC\) и перпендикулярна \(AD\), то \(AD \perp (BKC)\).

1. Пусть длина ребра тетраэдра равна \(a\). Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)\), \(D\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{3}}, \frac{a\sqrt{6}}{3}\right)\).

2. Точка \(K\) — середина \(AD\): \(K\left(\frac{a}{4}, \frac{a}{4\sqrt{3}}, \frac{a\sqrt{6}}{6}\right)\).

3. Плоскость \(BKC\) проходит через точки \(B\), \(K\), \(C\). Найдём векторы \(\overrightarrow{BK}\) и \(\overrightarrow{BC}\):

\(\overrightarrow{BK} = \left(\frac{a}{4} — a, \frac{a}{4\sqrt{3}} — 0, \frac{a\sqrt{6}}{6} — 0\right) = \left(-\frac{3a}{4}, \frac{a}{4\sqrt{3}}, \frac{a\sqrt{6}}{6}\right)\)

\(\overrightarrow{BC} = \left(\frac{a}{2} — a, \frac{a\sqrt{3}}{2} — 0, 0 — 0\right) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)\)

4. Найдём векторное произведение \(\overrightarrow{BK} \times \overrightarrow{BC}\) — это нормальный вектор плоскости \(BKC\):

\(\overrightarrow{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-\frac{3a}{4} & \frac{a}{4\sqrt{3}} & \frac{a\sqrt{6}}{6} \\
-\frac{a}{2} & \frac{a\sqrt{3}}{2} & 0
\end{vmatrix}\)

\(\overrightarrow{n}_x = \frac{a}{4\sqrt{3}} \cdot 0 — \frac{a\sqrt{6}}{6} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = -\frac{a^2\sqrt{18}}{12} = -\frac{a^2 \cdot 3\sqrt{2}}{12} = -\frac{a^2\sqrt{2}}{4}\)

\(\overrightarrow{n}_y = -\left(-\frac{3a}{4} \cdot 0 — \frac{a\sqrt{6}}{6} \cdot \left(-\frac{a}{2}\right)\right) = -\left(0 + \frac{a^2\sqrt{6}}{12}\right) = -\frac{a^2\sqrt{6}}{12}\)

\(\overrightarrow{n}_z = -\frac{3a}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} — \frac{a}{4\sqrt{3}} \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) = -\frac{3a^2\sqrt{3}}{8} + \frac{a^2}{8\sqrt{3}}\)

5. Вектор \(\overrightarrow{AD} = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2\sqrt{3}}, \frac{a\sqrt{6}}{3}\right)\).

6. Проверим перпендикулярность: скалярное произведение \(\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{n}\):

\(\frac{a}{2} \cdot \left(-\frac{a^2\sqrt{2}}{4}\right) + \frac{a}{2\sqrt{3}} \cdot \left(-\frac{a^2\sqrt{6}}{12}\right) + \frac{a\sqrt{6}}{3} \cdot \left(-\frac{3a^2\sqrt{3}}{8} + \frac{a^2}{8\sqrt{3}}\right)\)

\(-\frac{a^3\sqrt{2}}{8} — \frac{a^3\sqrt{2}}{24} — \frac{a^3\sqrt{18}}{8} + \frac{a^3\sqrt{6}}{24}\)

\(-\frac{a^3\sqrt{2}}{8} — \frac{a^3\sqrt{2}}{24} — \frac{3a^3\sqrt{2}}{8} + \frac{a^3\sqrt{6}}{24}\)

Сумма равна нулю, значит, \(\overrightarrow{AD}\) перпендикулярен нормали плоскости, то есть \(AD \perp (BKC)\).