ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через вершины A и B трапеции ABCD с основаниями AD и BC проведены прямые AE и BF, перпендикулярные плоскости трапеции (рис. 10.29). Каково взаимное расположение плоскостей EAD и FBC?

1. \(AE \perp (ABCD)\), \(BF \perp (ABCD)\), значит \(AE \parallel BF\).

2. \(ABCD\) — трапеция, следовательно \(BC \parallel AD\).

3. Если \(AE \parallel BF\) и \(BC \parallel AD\), то плоскости \(EAD\) и \(FBC\) параллельны.

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), в которой по определению две стороны параллельны: \(AD \parallel BC\). Пусть из точки \(A\) проведена прямая \(AE\), а из точки \(B\) — прямая \(BF\), причем обе эти прямые перпендикулярны плоскости трапеции \(ABCD\), то есть \(AE \perp (ABCD)\) и \(BF \perp (ABCD)\). Это означает, что \(AE\) и \(BF\) являются прямыми, перпендикулярными одной и той же плоскости, а такие прямые всегда параллельны друг другу: \(AE \parallel BF\).

Рассмотрим теперь плоскости \(EAD\) и \(FBC\). Плоскость \(EAD\) проходит через точки \(E\), \(A\) и \(D\), а плоскость \(FBC\) — через точки \(F\), \(B\) и \(C\). Заметим, что в трапеции \(ABCD\) стороны \(AD\) и \(BC\) параллельны, а прямые \(AE\) и \(BF\) также параллельны и пересекают соответственно вершины \(A\) и \(B\). Таким образом, если рассмотреть построение этих плоскостей, то каждая из них содержит одну из параллельных сторон трапеции и одну из параллельных прямых, выходящих из соответствующих вершин.

Поскольку \(AE \parallel BF\) и \(AD \parallel BC\), то по признаку параллельности плоскостей, если через две параллельные прямые провести две плоскости, каждая из которых содержит одну из параллельных прямых и одну из параллельных сторон, то такие плоскости будут параллельны. Следовательно, плоскости \(EAD\) и \(FBC\) параллельны.