ГДЗ по Геометрии 10 Класс Углубленный Уровень Номер 10.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Образом прямой при симметрии относительно данной плоскости является сама эта прямая. Определите взаимное расположение этой прямой и данной плоскости.

Пусть прямая \(a\) совпадает со своим образом при симметрии относительно плоскости \(\alpha\).

Это возможно только в двух случаях: если \(a\) лежит в плоскости \(\alpha\), тогда её образ совпадает с ней самой, или если \(a\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\) и проходит через неё, тогда отражение совпадает с исходной прямой.

Значит, прямая либо перпендикулярна плоскости, либо лежит в ней.

Пусть дана плоскость \(\alpha\) и прямая \(a\). Если образ прямой \(a\) при симметрии относительно плоскости \(\alpha\) совпадает с самой прямой \(a\), значит, каждая точка прямой при отражении остаётся на этой же прямой.

Рассмотрим два возможных случая. Первый: прямая \(a\) полностью лежит в плоскости \(\alpha\). Тогда при симметрии относительно этой плоскости каждая точка прямой останется на месте, и образ совпадёт с исходной прямой.

Второй случай: прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\) под прямым углом, то есть перпендикулярна ей. В этом случае точка пересечения не изменится, а все остальные точки прямой, симметричные относительно плоскости, также будут лежать на этой же прямой. Значит, образ совпадает с самой прямой.

Таким образом, прямая либо перпендикулярна плоскости, либо лежит в ней.